Question

F(x)=x^3+4x^2+4x+11 (найти точки экстремума функции)

Answer 1

F(x)=x^3+4x^2+4x+11


f'(x)=(x^3+4x^2+4x+11)' = 3x^2  +8x +4 +0


3x^2  +8x +4 = 0
D = 64 -48 = 16
x = (-8 -4)/6 = -2
x = (-8 +4)/6 = -2/3

f'(x) = 3x^2  +8x +4 - парабола, ветви вверх =>

___+___-2___-___-2/3___+___


Ответ: -2, -2/3.

Answer 2

Для нахождения точек экстремума функции f(x) = x^3 + 4x^2 + 4x + 11 сначала найдем ее производную. Затем решим уравнение f'(x) = 0, чтобы найти значения x, в которых производная равна нулю. Эти значения будут являться кандидатами на точки экстремума.

f'(x) = 3x^2 + 8x + 4

Теперь найдем значения x, при которых f'(x) = 0:

3x^2 + 8x + 4 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4*3*4 = 64 - 48 = 16

Так как D > 0, у уравнения есть два различных корня:

x1 = (-b - √D) / 2a = (-8 - √16) / (2*3) = (-8 - 4) / 6 = -2/3 x2 = (-b + √D) / 2a = (-8 + √16) / (2*3) = (-8 + 4) / 6 = -2/3

Таким образом, у нас есть только одно значение x = -2/3, которое является кандидатом на точку экстремума.

Теперь чтобы определить, является ли точка кандидатом на точку максимума или минимума, можно проанализировать знаки второй производной f''(x) вблизи этой точки.

f''(x) = 6x + 8

Подставим x = -2/3 в f''(x) :

f''(-2/3) = 6*(-2/3) + 8 = -4 + 8 = 4

Так как f''(-2/3) > 0, точка x = -2/3 является точкой локального минимума функции f(x).