Question

Y=x^5+20x^3-65x найдите наибольшее значение функции на отрезке [-3;0]

Answer 1

Y`=(x⁵+20x³-65x)`=5*x⁴+20*3*x²-65=0   [-3;0]
5x⁴+60x²-65=0
x²=t>0
5t²+60t-65=0  D=4900
t₁=1   t₂=-13  t₂∉
x²=1
x₁=1    x₂=-1
y(-3)=(-3)⁵+20*(-3)³-65*(-3)=-243-540+195=-588.
y(-1)=(-1)⁵+20*(-1)³-65*(-1)=-1-20+65=44=ymax.
y(0)=0⁵+20*0³-65*0=0.

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции на отрезке [-3; 0] необходимо найти точки экстремума на этом отрезке.

Для этого найдем производную функции Y(x). Для удобства обозначим Y'(x) = dY/dx.

Y'(x) = 5x^4 + 60x^2 - 65

Теперь найдем корни этого уравнения, приравняв Y'(x) к нулю:

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Решая это уравнение, получим корни x1 = -2, x2 = -1, x3 = 1, x4 = 2.

Теперь найдем значения функции Y(x) в найденных точках и на концах отрезка [-3; 0]:

Y(-3) = (-3)^5 + 20(-3)^3 - 65(-3) = -270 + 540 + 195 = 465

Y(-2) = (-2)^5 + 20(-2)^3 - 65(-2) = -32 + 160 + 130 = 258

Y(-1) = (-1)^5 + 20(-1)^3 - 65(-1) = -1 + 20 + 65 = 84

Y(0) = 0^5 + 20(0)^3 - 65(0) = 0

Y(1) = (1)^5 + 20(1)^3 - 65(1) = 1 + 20 - 65 = -44

Y(2) = (2)^5 + 20(2)^3 - 65(2) = 32 + 160 - 130 = 62

Таким образом, наибольшее значение функции Y(x) на отрезке [-3; 0] равно 465.