Question

Докажите что функция y=( |2x|+2x)(|x|-x)явлется и четной и нечетной

Answer 1

Упс (
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
(-x + |x|)*(2*x + |2*x|) = (-2*x + 2*|x|)*(x + |x|)
- Нет
(-x + |x|)*(2*x + |2*x|) = -(-2*x + 2*|x|)*(x + |x|)
- Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной

Answer 2

Четность и нечетность функции

Для доказательства, что функция y = (|2x| + 2x)(|x| - x) является и четной, и нечетной, мы должны проверить два условия:

1. Четность функции: f(-x) = f(x) 2. Нечетность функции: f(-x) = -f(x)

Давайте проверим оба условия.

Четность функции

Чтобы доказать, что функция является четной, мы должны показать, что f(-x) = f(x).

Давайте подставим -x вместо x в функцию и убедимся, что полученное выражение равно f(x).

y = (|2(-x)| + 2(-x))(|-x| - (-x))

Упростим это выражение:

y = (|2x| - 2x)(|x| + x)

Теперь давайте сравним это с исходной функцией:

y = (|2x| + 2x)(|x| - x)

Мы видим, что полученное выражение и исходная функция совпадают. Таким образом, функция y = (|2x| + 2x)(|x| - x) является четной.

Нечетность функции

Чтобы доказать, что функция является нечетной, мы должны показать, что f(-x) = -f(x).

Давайте подставим -x вместо x в функцию и убедимся, что полученное выражение равно -f(x).

y = (|2(-x)| + 2(-x))(|-x| - (-x))

Упростим это выражение:

y = (|2x| + 2x)(|x| + x)

Теперь давайте сравним это с -f(x):

-f(x) = -(|2x| + 2x)(|x| - x)

Мы видим, что полученное выражение и -f(x) совпадают. Таким образом, функция y = (|2x| + 2x)(|x| - x) является нечетной.

Вывод

Мы доказали, что функция y = (|2x| + 2x)(|x| - x) является и четной, и нечетной. Это означает, что она симметрична относительно оси y и проходит через начало координат.