Question

Представьте в виде многочлена: а) (2а+7b) в квадрате б) (3а в квадрате -4b в кубе)в квадрате

Answer 1

А) (2a + 7b)² = 4a² + 28ab + 49b²
б) (3a² - 4b³)² = 9a(в четвертой) - 24a²b³ + 16b(в шестой).

Answer 2

Давайте развернем выражения в квадрате и в кубе, а затем перемножим получившиеся многочлены.

а) Развернем \( (2а + 7b)^2 \):

\[ (2а + 7b)^2 = (2а + 7b) \cdot (2а + 7b) \]

Применим формулу квадрата суммы:

\[ (2а + 7b)^2 = (2а)^2 + 2 \cdot (2а) \cdot (7b) + (7b)^2 \]

Упростим:

\[ 4a^2 + 28ab + 49b^2 \]

Теперь у нас есть развернутое выражение для \( (2а + 7b)^2 \).

б) Развернем \( (3а + b^2 - 4b)^3 \):

\[ (3а + b^2 - 4b)^3 = (3а + b^2 - 4b) \cdot (3а + b^2 - 4b) \cdot (3а + b^2 - 4b) \]

Применим формулу куба суммы:

\[ (3а + b^2 - 4b)^3 = (3а)^3 + 3 \cdot (3а)^2 \cdot (b^2 - 4b) + 3 \cdot (3а) \cdot (b^2 - 4b)^2 + (b^2 - 4b)^3 \]

Упростим:

\[ 27a^3 + 9a^2(b^2 - 4b) + 9a(b^2 - 4b)^2 + (b^2 - 4b)^3 \]

Теперь у нас есть развернутое выражение для \( (3а + b^2 - 4b)^3 \).

в) Теперь умножим многочлены из пунктов (а) и (б):

\[ (4a^2 + 28ab + 49b^2) \cdot (27a^3 + 9a^2(b^2 - 4b) + 9a(b^2 - 4b)^2 + (b^2 - 4b)^3) \]

Для удобства, представим каждый член второго многочлена как сумму двух членов:

\[ = (4a^2 + 28ab + 49b^2) \cdot (27a^3 + 9a^2b^2 - 36a^2b + 9ab^2 - 36ab^2 + 16b^3) \]

Теперь умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена и сложим результаты:

\[ = 108a^5 + 36a^4b^2 - 144a^4b + 36a^3b^3 - 144a^3b^2 + 64a^2b^4 + 756a^4b + 252a^3b^2 - 1008a^3b - 252a^2b^3 + 112ab^5 + 1323a^3b^2 + 441a^2b^3 - 1764a^2b^2 - 588ab^4 + 784b^6 \]

Итак, представленный в виде многочлена результат умножения \( (2а + 7b)^2 \) на \( (3а + b^2 - 4b)^3 \) выглядит следующим образом:

\[ 108a^5 + 36a^4b^2 - 144a^4b + 36a^3b^3 - 144a^3b^2 + 64a^2b^4 + 756a^4b + 252a^3b^2 - 1008a^3b - 252a^2b^3 + 112ab^5 + 1323a^3b^2 + 441a^2b^3 - 1764a^2b^2 - 588ab^4 + 784b^6 \]