Question

Верно ли, что уравнение 1)3х^4-3х^2-2=0 2)4х^4+4х^2+1=0 имеет два корня?

Answer 1

Такие уравнение называется БИ-квадратными уравнениями.
разлом на множители.
1) Заменяем x^2=t , решаем относительно t.
 3t^2-3t-2=0
D=24+9=33
t1= (3+√33)/2
t2=( 3-√33)/2 , очевидно, что при замене, необходимо будем выбрать только корень t1, потому что второе выражение отрицательно, и уравнение x^2=(3-√33)/2 решений не имеет. Таким образом уравнение будет иметь 2 корня
2) Из второго уравнения путём замены x^2=t сразу видно что это формула квадрат суммы (x^2+1/2)^2=0 и из данного преобразования сразу видно, что такое уравнение вовсе не имеет решений.

Answer 2

1) Уравнение 3х^4 - 3х^2 - 2 = 0

Данное уравнение является квадратным уравнением относительно переменной x^2. Предлагаю ввести новую переменную z, равную x^2, и переписать уравнение следующим образом:

3z^2 - 3z - 2 = 0

Чтобы найти корни этого уравнения, можно воспользоваться формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

где a = 3, b = -3, c = -2.

D = (-3)^2 - 4 * 3 * (-2) = 9 + 24 = 33

Так как дискриминант D больше нуля, то уравнение имеет два различных корня z. А так как z = x^2, то исходное уравнение имеет два различных корня x.

2) Уравнение 4х^4 + 4х^2 + 1 = 0

Аналогично предыдущему случаю, перепишем данное уравнение с помощью новой переменной z:

4z^2 + 4z + 1 = 0

Вычислим дискриминант D:

D = (4)^2 - 4 * 4 * 1 = 16 - 16 = 0

Так как дискриминант D равен нулю, уравнение имеет один корень z. А так как z = x^2, то исходное уравнение имеет один корень x.

Итак, данные уравнения имеют два различных корня и один корень соответственно.