Question

Какое наименьшее значение и при каком значении переменной принимает выражение x²+12x-4

Answer 1

Выделим полный квадрат:
x² + 12x - 4 = x² + 12x + 36 - 36 - 4 = (x + 6)² - 40
(x + 6)² ≥ 0 при всех x. Наименьшее значение будет достигаться при x = -6, а само наименьшее значение равно -40.
Ответ: -40 при x = -6.

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения выражения \(x^2 + 12x - 4\), нужно определить, при каком значении переменной \(x\) это выражение достигает своего минимума. Это можно сделать, используя метод завершения квадратного трехчлена или анализа производной функции.

Метод завершения квадратного трехчлена: 1. Рассмотрим выражение \(x^2 + 12x - 4\). 2. Добавим и вычтем квадрат половины коэффициента при \(x\), то есть \(6^2 = 36\):

\[ x^2 + 12x - 4 = x^2 + 12x + 36 - 36 - 4 = (x + 6)^2 - 40. \]

Теперь выражение имеет вид квадрата с постоянным слагаемым (\((x + 6)^2\)) и константой (\(-40\)). Минимальное значение будет достигаться, когда квадрат равен нулю, так как \(x^2\) всегда неотрицательно. То есть, чтобы найти минимальное значение, нужно приравнять \((x + 6)^2\) к нулю и решить это уравнение:

\[ (x + 6)^2 - 40 = 0. \]

Теперь решим это уравнение:

\[ (x + 6)^2 = 40. \]

Извлечем квадратный корень с обеих сторон:

\[ x + 6 = ±√40. \]

Теперь выразим \(x\):

\[ x = -6 ±√40. \]

Мы получили два значения \(x\), при которых выражение \(x^2 + 12x - 4\) достигает своего минимума. Найдем эти значения:

1. \(x_1 = -6 + √40\) 2. \(x_2 = -6 - √40\)

Теперь мы можем найти минимальное значение выражения \(x^2 + 12x - 4\) подставив одно из этих значений \(x\) в выражение:

1. Минимальное значение при \(x = -6 + √40\):

\[ (-6 + √40)^2 - 40 = 4. \]

2. Минимальное значение при \(x = -6 - √40\):

\[ (-6 - √40)^2 - 40 = 4. \]

Оба значения \(x\) дают минимальное значение выражения \(x^2 + 12x - 4\), которое равно 4. Таким образом, наименьшее значение этого выражения равно 4 и достигается при \(x = -6 + √40\) и \(x = -6 - √40\).