Question

Найти значение a и b, при которых значение многочлена a^3+b^3+ab наименьшее, если a+b=1.

Answer 1

  $a+b=1\; \to \; b=1-a\\f(a)=a^3+b^3+ab=a^3+(1-a)^3+a(1-a)=\\=a^3+1-3a+3a^2-a^3+a-a^2=2a^2-2a+1\\f`(a)=4a-2=0\; \to \; a=\frac{1}{2}\\- - - - (\frac{1}{2})+ ++ +\\f(a)\; ybuvaet\; pri\; a\in (-\infty,\frac{1}{2})\\f(a)\; vozrast.\; pri\; a\in (\frac{1}{2},+\infty)\; \; \to \\a(min)=\frac{1}{2}\\b(min)=1-a(min)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

Answer 2

Для нахождения значений a и b, при которых значение многочлена a^3 + b^3 + ab является наименьшим, при условии a + b = 1, мы можем использовать метод Лагранжа для поиска экстремумов функции.

Метод Лагранжа используется для нахождения экстремумов функции с ограничениями, которые задаются в виде уравнения или системы уравнений. В данном случае, у нас есть ограничение a + b = 1.

Для начала, выразим одну переменную через другую, чтобы уменьшить количество переменных в уравнении:

a + b = 1 => b = 1 - a

Теперь, подставим это выражение для b в наш многочлен:

P(a) = a^3 + (1 - a)^3 + a(1 - a)

Раскроем скобки:

P(a) = a^3 + (1 - 3a + 3a^2 - a^3) + a - a^2

Упростим:

P(a) = -a^3 + 3a^2 - a + 1

Теперь, чтобы найти минимальное значение этого многочлена, мы можем взять производную и приравнять ее к нулю:

P'(a) = -3a^2 + 6a - 1 = 0

Давайте решим это квадратное уравнение:

a = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

В нашем случае, a = -1, b = 6 и c = -1. Подставим эти значения в формулу:

a = (-6 ± √(6^2 - 4(-1)(-1))) / 2(-1)

Упростим:

a = (-6 ± √(36 - 4)) / -2

a = (-6 ± √32) / -2

a = (-6 ± 4√2) / -2

Разделим на -2:

a = 3 ± 2√2

Теперь, подставим найденные значения a в исходное уравнение для нахождения соответствующих значений b:

Для a = 3 + 2√2:

b = 1 - a = 1 - (3 + 2√2) = -2 - 2√2

Для a = 3 - 2√2:

b = 1 - a = 1 - (3 - 2√2) = -2 + 2√2

Таким образом, при значениях a = 3 + 2√2 и b = -2 - 2√2 или a = 3 - 2√2 и b = -2 + 2√2, значение многочлена a^3 + b^3 + ab будет наименьшим.