Question

Решить систему : x-y=П/2 sinx+siny=√2

Answer 1

X-y=П/2
sinx+siny=√2
2sin[(x+y)/2]*cos[(x-y)/2]=√2
2sin[(x+y)/2]*cosπ/4=√2
2*√2/2*sin[(x+y)/2]=√2
sin[(x+y)/2]=1
(x+y)/2=π/2
x+y=π
x-y=π/2
2x=3π/2
x=3π/4
y=π/4

Answer 2

Давайте решим данную систему уравнений:

1. \(x - y = \frac{\pi}{2}\) 2. \(\sin x + \sin y = \sqrt{2}\)

Для начала, давайте решим первое уравнение относительно \(x\):

\[x = y + \frac{\pi}{2}\]

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

\[\sin\left(y + \frac{\pi}{2}\right) + \sin y = \sqrt{2}\]

Мы знаем, что \(\sin\left(\frac{\pi}{2} + \theta\)\) равно \(\cos \theta\), поэтому:

\[\cos y + \sin y = \sqrt{2}\]

Теперь сложим и вычтем \(\sin\frac{\pi}{4}\) с обеих сторон уравнения (чтобы использовать тригонометрическую формулу синуса для суммы углов):

\[\cos y + \sin y + \sin\frac{\pi}{4} - \sin\frac{\pi}{4} = \sqrt{2}\]

\[\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{2}\cos y + \sqrt{2}\sin y + \sqrt{2}\sin\frac{\pi}{4} - \sqrt{2}\sin\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}\]

\[\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos y + \sin y + \sqrt{2}\sin\frac{\pi}{4} - \sqrt{2}\sin\frac{\pi}{4}) = 1\]

Теперь мы видим, что \(\sin\frac{\pi}{4} = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}\), подставим это:

\[\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos y + \sin y + \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} - \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}) = 1\]

\[\frac{1}{\sqrt{2}}(\cos y + \sin y + 1 - 1) = 1\]

\[\cos y + \sin y = \sqrt{2}\]

Таким образом, второе уравнение также превращается в \(\cos y + \sin y = \sqrt{2}\), что означает, что система имеет бесконечное множество решений. Такие решения могут быть представлены, например, в виде параметрического вида:

\[x = t + \frac{\pi}{2}\] \[y = t\]

где \(t\) - произвольный параметр.