Question

Пожалуйста помогите завтра сдовать контроную годовую,а я не готов.. и не знаю как решать.. y=x^3-3x^2+4 надо найти промежутки возрастания и убывания функции,точки экстремума, и наибольшее и наименьшее значения функции на Отрезке [-1;4] И по этой функции построить график,после этого составить уравнения касательной к графику функции y=4(корень)x где x=4 Люди прошу,помогите я горю((

Answer 1

Найдём производную функции

$y'=(x^3-2x^2+4)'=3x^2-4x$

Теперь найдём критические точки(y'=0):

$3x^2-4x=0\\x(3x-4)=0\\x=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3x-4=0\\x=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x=\frac{4}{3}$

Начертим прямую, нанесём точки на интервал. Там где производная положительная функци возрастает, отрицательная убывает. Там где функция сначало возрастала(убывала), а после в какой-то точке начало убывать(возрастать), то это точка экстрэмума.

Вложение.

Промежутки возрастания, убывания(промежутки монотонности):

(-бесконечности;0] - возрастает

(0;4/3] - убывает

(4/3;+бесконечности) - возрастает.

 Экстэмумы функции: 0 - точка максимума.

                                         4/3 - точка минимума. 

Рисунок вложение. 

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение на отрезке нужно найти значения на функции на концах отрезков, и на точках которые входят в этот промежуток. У нас это точки: -1;4;0;4/3

$f(-1)=(-1)^3-3*(-1)^2+4=-1-3+4=0\\f(0)=0^3-3*0^2+4=4\\f(4)=4^3-3*4^2+4=64-48+4=20\\f(\frac{4}{3})=(\frac{4}{3})^3-3*(\frac{4}{3})^2+4=\frac{64}{27}-3*\frac{16}{9}+4=\frac{64}{27}-\frac{16}{3}+4=\\=\frac{64}{27}-\frac{144}{27}+\frac{108}{27}=\frac{28}{27}\\f_{max}=20\\f_{min}=0$

 

 

 

 

уравнение касательной:

$f=(y'(x_0))(x-x_0)+y(x_0)$ 

Найдём y(x0):

$y(x_0)=4*\sqrt{4}=8$

Найдём производную.

$y'(x)=(4*\sqrt{x})'=\frac{4}{2\sqrt{x}}=\frac{2}{\sqrt{x}}$

$y'(x_0)=y'(4)=\frac{2}{\sqrt{4}}=1$ 

Подставим в уравнение касательной.

$f=(1)*(x-4)+8=x+4$ 

Answer 2

Решение задачи:

Для начала, давайте найдем промежутки возрастания и убывания функции y = x^3 - 3x^2 + 4 на отрезке [-1;4].

1. Промежутки возрастания и убывания функции:

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, нам нужно найти значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует.

Для этого возьмем производную функции y = x^3 - 3x^2 + 4 и приравняем ее к нулю:

y' = 3x^2 - 6x

Теперь найдем значения x, при которых y' = 0:

3x^2 - 6x = 0

Факторизуем это уравнение:

3x(x - 2) = 0

Таким образом, получаем два значения x: x = 0 и x = 2.

Теперь мы можем построить таблицу промежутков возрастания и убывания функции:

| Промежуток | Возрастание | Убывание | |------------|-------------|----------| | (-∞; 0) | - | + | | (0; 2) | + | - | | (2; +∞) | + | - |

2. Точки экстремума:

Точки экстремума функции находятся в тех значениях x, где производная функции равна нулю или не существует.

Мы уже нашли, что производная функции y = x^3 - 3x^2 + 4 равна y' = 3x^2 - 6x.

Теперь найдем значения x, при которых y' = 0:

3x^2 - 6x = 0

Факторизуем это уравнение:

3x(x - 2) = 0

Таким образом, получаем две точки экстремума: x = 0 и x = 2.

3. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1;4]:

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1;4], мы можем подставить концы отрезка и точки экстремума в функцию y = x^3 - 3x^2 + 4 и найти соответствующие значения y.

Подставим x = -1:

y = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 4 = -1 - 3 + 4 = 0

Подставим x = 0:

y = 0^3 - 3(0)^2 + 4 = 4

Подставим x = 2:

y = 2^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0

Подставим x = 4:

y = 4^3 - 3(4)^2 + 4 = 64 - 48 + 4 = 20

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке [-1;4] равно 20, а наименьшее значение равно 0.

4. Построение графика функции:


5. Уравнение касательной к графику функции y = 4√x в точке x = 4:

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции y = 4√x в точке x = 4, мы можем использовать формулу для уравнения касательной:

y - y1 = m(x - x1),

где (x1, y1) - точка на графике функции, а m - значение производной функции в этой точке.

Для функции y = 4√x, производная равна:

y' = 2/√x

Подставим x = 4:

y' = 2/√4 = 2/2 = 1

Теперь мы можем использовать точку (4, 4√4) = (4, 8) и значение производной m = 1, чтобы составить уравнение касательной:

y - 8 = 1(x - 4)

y - 8 = x - 4

y = x + 4

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y = 4√x в точке x = 4 равно y = x + 4.

Надеюсь, эта информация поможет вам решить задачу. Удачи на контрольной работе! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать.