Question

Найти наибольшее и наименьшее значения х[0;4] y=2x - корень квадратный от х

Answer 1

y=2x-sqr(x)

D(y)=R-{0}

y`(x)=2-1/(2sqr(x))

y`(x)=0 при 2-1/(2sqr(x))=0

                      1/(2sqr(x))=2

                          sqr(x)=1/4

                                x=1/2, x=-1/2

 

 x=1/2 принадлежит [0;4], x=-1/2 не принадлежит [0;4]

y(0)=2*0-sqr(0)=0-наименьшее

y(1/2)=2*1/2-sqr(1/2)=1-sqr(1/2)

y(4)=2*4-sqr(4)=6 -наибольшее

Answer 2

Для нахождения наибольших и наименьших значений функции \(y = 2\sqrt{x}\) на интервале \([0, 4]\), мы можем воспользоваться производной функции. Найдем производную и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки.

Итак, дано уравнение функции: \[y = 2\sqrt{x}\]

Найдем производную функции по переменной \(x\): \[y' = \frac{d}{dx} (2\sqrt{x})\]

Используем правило дифференцирования сложной функции: \[y' = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x})\]

Упростим: \[y' = \frac{1}{\sqrt{x}}\]

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение: \[0 = \frac{1}{\sqrt{x}}\]

Умножим обе стороны на \(\sqrt{x}\): \[0 = 1\]

Это уравнение не имеет решений. Таким образом, у функции \(y = 2\sqrt{x}\) нет критических точек на интервале \([0, 4]\).

Теперь проверим значения функции на границах интервала и в крайних точках:

1. При \(x = 0\): \(y = 2\sqrt{0} = 0\) 2. При \(x = 4\): \(y = 2\sqrt{4} = 4\)

Таким образом, минимальное значение функции равно 0 при \(x = 0\), а максимальное значение функции равно 4 при \(x = 4\).