Question

5cos2x-1=2cosx-sin2x

Answer 1

Решение во вложении.

Answer 2

Для решения данного уравнения, мы можем использовать тригонометрические тождества и методы алгебраического преобразования.

Давайте начнем с преобразования уравнения:

5cos(2x) - 1 = 2cos(x) - sin(2x)

Сначала заметим, что у нас есть функции cos(2x) и sin(2x), которые мы можем выразить через cos(x) и sin(x) с помощью тригонометрических тождеств:

cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Теперь давайте подставим эти значения в уравнение:

5(cos^2(x) - sin^2(x)) - 1 = 2cos(x) - 2sin(x)cos(x)

Раскроем скобки:

5cos^2(x) - 5sin^2(x) - 1 = 2cos(x) - 2sin(x)cos(x)

Теперь сгруппируем члены:

5cos^2(x) - 2cos(x) - 5sin^2(x) + 2sin(x)cos(x) - 1 = 0

Перепишем уравнение, объединив некоторые члены:

(5cos^2(x) - 2cos(x) + 2sin(x)cos(x)) - (5sin^2(x) + 1) = 0

Теперь давайте разделим уравнение на 5 и сделаем некоторые преобразования:

cos^2(x) - (2/5)cos(x) + (2/5)sin(x)cos(x) - sin^2(x) - (1/5) = 0

Используя тождество cos^2(x) + sin^2(x) = 1, мы можем переписать уравнение:

1 - (2/5)cos(x) + (2/5)sin(x)cos(x) - sin^2(x) - (1/5) = 0

Теперь давайте сгруппируем некоторые члены:

1 - (2/5)cos(x) + (2/5)sin(x)cos(x) - sin^2(x) - (1/5) = 0

(1 - (1/5)) - (2/5)cos(x) + (2/5)sin(x)cos(x) - sin^2(x) = 0

(4/5) - (2/5)cos(x) + (2/5)sin(x)cos(x) - sin^2(x) = 0

Теперь мы можем переписать уравнение в виде:

(4/5) - (2/5)cos(x) + (2/5)sin(x)cos(x) - (1 - cos^2(x)) = 0

(4/5) - (2/5)cos(x) + (2/5)sin(x)cos(x) - 1 + cos^2(x) = 0

(4/5) - 1 + cos^2(x) - (2/5)cos(x) + (2/5)sin(x)cos(x) = 0

cos^2(x) - (2/5)cos(x) + (2/5)sin(x)cos(x) - (1 - (4/5)) = 0

cos^2(x) - (2/5)cos(x) + (2/5)sin(x)cos(x) - (1/5) = 0

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно cos(x):

cos^2(x) - (2/5)cos(x) + (2/5)sin(x)cos(x) - (1/5) = 0

Это уравнение можно решить с помощью методов решения квадратных уравнений, таких как факторизация, использование квадратного трехчлена или квадратного корня. Решение этого уравнения даст нам значения x, которые удовлетворяют исходному уравнению 5cos(2x) - 1 = 2cos(x) - sin(2x).

Пожалуйста, обратитесь к методам решения квадратных уравнений или уточните, если у вас есть дополнительные вопросы.