Question

Докажите что четырехугольник является ромбом если А(-6;2)В(-5;5)С(-2;6)Д(-3;3)

Answer 1

Найдем стороны четырехугольника АВСD:
Длина вектора, заданного координатами, равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.Чтобы найти координаты вектора, заданного координатами начала и конца, надо от координат КОНЦА отнять соответствующие координаты НАЧАЛА.
АВ{1;3}, |AB|=√(1+9)=√10.
BC{3;1}, |BC|=√(9+1)=√10.
CD{-1;-3},|CD|=√(1+9)=√10.
AD{3;1}, |AD|=√(9+1)=√10.
Итак, в четырехугольнике все стороны равны.
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
Если все противоположные стороны ПОПАРНО равны: AB = CD, BC=DA, то четырехугольник АВСD - параллелограмм.
У нас выполняются оба условия, значит четырехугольник АВСD является ромбом или квадратом.
Но для того, чтобы доказать, что это НЕ КВАДРАТ, определим угол между двумя соседними векторами. Угол α между вектором a и b:
cosα=(x1*x2+y1*y2)/[√(x1²+y1²)*√(x2²+y2²)].
В нашем случае: cosα=(3+3)/[√(1+9)*√(9+1)] = 6/10 = 0,6. То есть угол между векторами АВ и ВС НЕ ПРЯМОЙ. Этого достаточно, чтобы доказать, что четырехугольник АВCD не квадрат.
Следовательно, четырехугольник АВCD - РОМБ.
Что и требовалось доказать...

Answer 2

Чтобы доказать, что четырехугольник является ромбом, нам нужно проверить несколько условий. Ромб - это особый вид четырехугольника, у которого все стороны равны между собой. Кроме того, у ромба все углы также равны.

Давайте проверим, выполняются ли эти условия для данного четырехугольника с вершинами А(-6;2), В(-5;5), С(-2;6) и Д(-3;3).

1. Проверка равенства сторон

Для этого мы можем использовать расстояние между точками формулой расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

AB = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²) BC = √((x3 - x2)² + (y3 - y2)²) CD = √((x4 - x3)² + (y4 - y3)²) DA = √((x1 - x4)² + (y1 - y4)²)

Вычислим значения для всех сторон:

AB = √((-5 - (-6))² + (5 - 2)²) = √(1² + 3²) = √(1 + 9) = √10 BC = √((-2 - (-5))² + (6 - 5)²) = √(3² + 1²) = √(9 + 1) = √10 CD = √((-3 - (-2))² + (3 - 6)²) = √(1² + 3²) = √(1 + 9) = √10 DA = √((-6 - (-3))² + (2 - 3)²) = √(3² + 1²) = √(9 + 1) = √10

Мы видим, что все стороны AB, BC, CD и DA имеют одинаковое значение √10, что означает, что они равны между собой.

2. Проверка равенства углов

Чтобы проверить равенство углов, мы можем использовать коэффициенты наклона прямых, проходящих через соседние вершины. Если коэффициенты наклона равны, то углы между сторонами также будут равны.

Вычислим коэффициенты наклона для прямых AB, BC, CD и DA:

mAB = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (5 - 2) / (-5 - (-6)) = 3 / 1 = 3 mBC = (y3 - y2) / (x3 - x2) = (6 - 5) / (-2 - (-5)) = 1 / 3 = 1/3 mCD = (y4 - y3) / (x4 - x3) = (3 - 6) / (-3 - (-2)) = -3 / -1 = 3 mDA = (y1 - y4) / (x1 - x4) = (2 - 3) / (-6 - (-3)) = -1 / -3 = 1/3

Мы видим, что коэффициенты наклона прямых AB и CD равны 3, а коэффициенты наклона прямых BC и DA равны 1/3.

Таким образом, все углы между сторонами этого четырехугольника равны.

Вывод

Мы проверили, что все стороны четырехугольника AB, BC, CD и DA равны между собой, а также что все углы между сторонами равны. Следовательно, мы можем сделать вывод, что данный четырехугольник АВСД является ромбом.