Question

Y=-x^8+2x^4+1 найдите наибольшее значение функции помогите пожалуйста

Answer 1

График парабола, ветви вниз, значит наибольшее значение достигается в вершине параболы.
Найдем координаты вершины
-х8+2х4+1=0
Пусть х4=к
-к²+2к+1=0
х(вершины) = -2 / -2 = 1
у(вершины) = -1+2+1=2
Вершина В(1; 2)
=> наибольшее значение у(1)=2

Answer 2

Чтобы найти наибольшее значение функции \(y = -x^8 + 2x^4 + 1\), нужно определить, при каком значении \(x\) функция достигает максимума. Для этого мы можем воспользоваться производной функции.

1. Найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\): \[ y' = \frac{dy}{dx} = -8x^7 + 8x^3.\]

2. Теперь найдем критические точки, приравнивая производную к нулю: \[ -8x^7 + 8x^3 = 0.\]

3. Решим это уравнение: \[ -8x^3(x^4 - 1) = 0.\]

Получаем два фактора: \[ x^3 = 0 \quad \text{и} \quad x^4 - 1 = 0.\]

Из первого уравнения следует, что \(x = 0\). Из второго уравнения получаем два значения: \[ x^4 = 1 \Rightarrow x = \pm 1.\]

Таким образом, у нас три критические точки: \(x = -1, 0, 1\).

4. Теперь нужно проверить, где функция \(y\) имеет локальный максимум. Для этого анализируем знак второй производной \(y''\).

\[ y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = -56x^6 + 24x^2.\]

Подставим критические точки:

- При \(x = -1\): \(y''(-1) = -56(-1)^6 + 24(-1)^2 = -32 < 0\), значит, у нас есть локальный максимум при \(x = -1\). - При \(x = 0\): \(y''(0) = 0\), т.е. тест не дает информации. - При \(x = 1\): \(y''(1) = -32 < 0\), также есть локальный максимум при \(x = 1\).

5. Таким образом, у нас есть две критические точки, где функция \(y\) может достигать максимума: \(x = -1\) и \(x = 1\).

6. Теперь найдем соответствующие значения функции \(y\) в этих точках:

- При \(x = -1\): \(y(-1) = -(-1)^8 + 2(-1)^4 + 1 = -2\). - При \(x = 0\): \(y(0) = 1\). - При \(x = 1\): \(y(1) = -1^8 + 2(1)^4 + 1 = 2\).

Таким образом, максимальное значение функции \(y\) равно 2 и достигается при \(x = 1\).