Question

Найдите область значений функции y=x²-6x-13, где х принадлежит [-2;7]

Answer 1

Х| -2| 0 | 7|
У| 5 | -13 | 6|
У=(-2)²-6•(-2)-13=4+12-13=5
У=0²-6•0-13=-13
У=7² -6•7-13=49-42-13=7-13=6
І намалювати графік

Answer 2

Для того чтобы найти область значений функции \(y = x^2 - 6x - 13\) при \(x\) из отрезка \([-2;7]\), давайте сначала найдем вершину параболы, представленной этой квадратичной функцией.

Функция \(y = x^2 - 6x - 13\) представляет собой параболу, которая открывается вверх, так как коэффициент при \(x^2\) положителен (\(1\)).

Чтобы найти вершину параболы, используем формулу для \(x\)-координаты вершины параболы: \(x_v = -\frac{b}{2a}\), где \(a\) - коэффициент при \(x^2\), \(b\) - коэффициент при \(x\).

В данном случае, \(a = 1\) и \(b = -6\):

\[x_v = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3\]

Теперь найдем \(y\)-координату вершины, подставив \(x_v = 3\) в исходную функцию:

\[y = (3)^2 - 6(3) - 13 = 9 - 18 - 13 = -22\]

Итак, вершина параболы находится в точке \((3, -22)\).

Теперь определим, какие значения \(y\) принимает функция на отрезке \([-2;7]\). Для этого вычислим значения функции при \(x = -2\) и \(x = 7\) и также учтем значение в вершине параболы при \(x = 3\):

При \(x = -2\):

\[y = (-2)^2 - 6(-2) - 13 = 4 + 12 - 13 = 3\]

При \(x = 7\):

\[y = (7)^2 - 6(7) - 13 = 49 - 42 - 13 = -6\]

Таким образом, минимальное значение функции на отрезке \([-2;7]\) равно \(-22\) (в вершине параболы), а максимальное значение равно \(3\) (при \(x = -2\)). Следовательно, область значений функции \(y = x^2 - 6x - 13\) при \(x\) из отрезка \([-2;7]\) составляет от \(-22\) до \(3\), то есть \(y \in [-22; 3]\).