Question

Помогите=) сколько корней имеет уравнение sin2x+sin4x=0 на отрезке [0;2п]

Answer 1

Вот, вроде так это решается 

Answer 2

Когда у нас есть уравнение вида \( \sin(2x) \cdot \sin(4x) = 0 \), мы можем использовать свойство произведения, чтобы найти значения переменной \( x \), при которых уравнение выполняется.

Уравнение \( \sin(2x) = 0 \) имеет корни, когда аргумент \( 2x \) равен \( k\pi \), где \( k \) - целое число. То есть, \( 2x = k\pi \), отсюда получаем \( x = \frac{k\pi}{2} \).

Уравнение \( \sin(4x) = 0 \) имеет корни, когда аргумент \( 4x \) равен \( m\pi \), где \( m \) - целое число. То есть, \( 4x = m\pi \), отсюда получаем \( x = \frac{m\pi}{4} \).

Теперь мы объединим эти два набора корней. Сначала рассмотрим корни из \( \sin(2x) = 0 \), то есть \( x = \frac{k\pi}{2} \). Посмотрим, когда эти корни лежат в интервале \([0; 2\pi]\):

- При \( k = 0 \): \( x = 0 \) - При \( k = 1 \): \( x = \frac{\pi}{2} \) - При \( k = 2 \): \( x = \pi \) - При \( k = 3 \): \( x = \frac{3\pi}{2} \) - При \( k = 4 \): \( x = 2\pi \)

Теперь рассмотрим корни из \( \sin(4x) = 0 \), то есть \( x = \frac{m\pi}{4} \). Посмотрим, когда эти корни лежат в интервале \([0; 2\pi]\):

- При \( m = 0 \): \( x = 0 \) - При \( m = 1 \): \( x = \frac{\pi}{4} \) - При \( m = 2 \): \( x = \frac{\pi}{2} \) - При \( m = 3 \): \( x = \frac{3\pi}{4} \) - При \( m = 4 \): \( x = \pi \) - При \( m = 5 \): \( x = \frac{5\pi}{4} \) - При \( m = 6 \): \( x = \frac{3\pi}{2} \) - При \( m = 7 \): \( x = \frac{7\pi}{4} \) - При \( m = 8 \): \( x = 2\pi \)

Теперь мы можем объединить все корни и исключить повторения:

- \( x = 0 \) - \( x = \frac{\pi}{4} \) - \( x = \frac{\pi}{2} \) - \( x = \frac{3\pi}{4} \) - \( x = \pi \) - \( x = \frac{5\pi}{4} \) - \( x = \frac{3\pi}{2} \) - \( x = \frac{7\pi}{4} \) - \( x = 2\pi \)

Итак, уравнение \( \sin(2x) \cdot \sin(4x) = 0 \) имеет 9 корней на отрезке \([0; 2\pi]\).