Question

сумма ста тридцати первых членов арифметической прогрессии равна сумме ее первых восьмидесяти членов. найдите сумму первых двухсот десяти членов этой прогрессии.

Answer 1

Рассмотрим общий случай

 

 

Sn=(2a1+d(n-1))*n/2

Sk=(2a1+d(k-1))*k/2

 

(2a1+(n-1)d)*n/2=(2a1+(k-1)d)*k/2

2a1(n-k)=k(k-1)d-n(n-1)d

a1=d(k^2-k-n^2+n)/2(n-k)

a1=d(-(n^2-k^2)+n-k)/2(n-k)

a1=d(-n-k+1)/2

a1=-d(n+k-1)/2

 

S_(n+k)=(2a1+d(n+k-1))(n+k)/2

d(n+k-1)=-2a1

S_(n+k)=(2a1-2a1))(n+k)/2=0

 

Т.е. мы доказали, что для любых n и k, если сумма n первых членов прогрессии равна сумме k первых членов прогрессии, сумма n+k первых членов прогрессии всегда равна 0.

Значит S210=0.

 

 

100a1=d(6400-80-16900+130)

100a1=-10450d

a1=-104,5d

 

S210=(2a1+d(210-1))*210/2=420a1+21945d=-(43890+21945)d=-21945d

S130=(-209d+129d)130/2=-80d*65=-5200d

S80=(-209d+79d)*40=-130d*40=

 

 

Answer 2

Сумма ста тридцати первых членов арифметической прогрессии равна сумме ее первых восьмидесяти членов. Найдите сумму первых двухсот десяти членов этой прогрессии.

Для решения этой задачи, нам нужно знать формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии. По [формулам и свойствам арифметической прогрессии](https://ru.onlinemschool.com/math/formula/arithmetic_progression/), сумма первых n членов арифметической прогрессии равна:

$$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$$

где $a_1$ - первый член прогрессии, $a_n$ - n-й член прогрессии, $n$ - количество членов прогрессии.

Из условия задачи, мы можем составить уравнение:

$$S_{131} = S_{80}$$

Подставляя формулу суммы, получаем:

$$\frac{(a_1 + a_{131}) \cdot 131}{2} = \frac{(a_1 + a_{80}) \cdot 80}{2}$$

Упрощая уравнение, получаем:

$$a_{131} - a_{80} = -\frac{51 \cdot a_1}{51}$$

Так как $a_{131} = a_1 + 130d$ и $a_{80} = a_1 + 79d$, где $d$ - разность прогрессии, то мы можем выразить $d$ через $a_1$:

$$d = -\frac{a_1}{51}$$

Теперь мы можем найти сумму первых 210 членов прогрессии, используя формулу суммы и выражения для $a_{210}$ и $d$:

$$S_{210} = \frac{(a_1 + a_{210}) \cdot 210}{2} = \frac{(a_1 + a_1 + 209d) \cdot 210}{2} = \frac{(2a_1 - \frac{209 \cdot a_1}{51}) \cdot 210}{2} = \frac{(-\frac{103 \cdot a_1}{51}) \cdot 210}{2} = -\frac{10755 \cdot a_1}{102}$$

Ответ: сумма первых двухсот десяти членов арифметической прогрессии равна $-\frac{10755 \cdot a_1}{102}$, где $a_1$ - первый член прогрессии.