Question

Помогите,пожалуйста,с алгеброй(B14).Найти наименьшее значение функции:y=(x+3)^2*(x+10)+10 на промежутке [-7;6]

Answer 1

Y = (x+3)^2*(x+10)+10
Находим первую производную функции:
y' = (x+3)2+(x+10)(2x+6)
или
y' = 3x2+32x+69
Приравниваем ее к нулю:
3x2+32x+69 = 0
x1 = -23/3
x2 = -3
Вычисляем значения функции 
f(-23/3) = 1642/27
f(-3) = 10
Ответ:
fmin = 10, fmax = 1642/27
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
y'' = 6x+32
Вычисляем:
y''(-23/3) = -14<0 - значит точка x = -23/3 точка максимума функции.
y''(-3) = 14>0 - значит точка x = -3 точка минимума функции.

Answer 2

(х+3)^2(x+10) +10 = (x^2+6x+9)(x+10)+10= x^3+6x^2+9x+10x^2 + 60x+90+10= x^3+16x^2-69x+100
f`(x)= 3x^2+32x+69
3x^2+32x+69=0
d=1024-828=196
x=(-32+14)\6=-3 и x=(-32-14)\6=-23\3 ( -7 и 2\3)
f`(-6) = 108-192+69=-15 < 0 убывает 
f`(0)= 69 > 0 возрастает

следовательно -3 - точка минимума
f(-3)= 10  сравним с f(-7) = 16*3+10=58
Ответ: 10
 

Answer 3

Для нахождения наименьшего значения функции на заданном промежутке, необходимо найти точки экстремума функции и проверить значения функции в этих точках, а также на концах промежутка.

1. Найдем точки экстремума функции. Для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

y = (x+3)^2 * (x+10) + 10

y' = 2(x+3)(x+10) + 2(x+3)^2 = 0

Раскрываем скобки:

2x^2 + 26x + 60 + 2x^2 + 12x + 18 = 0

Собираем слагаемые:

4x^2 + 38x + 78 = 0

2x^2 + 19x + 39 = 0

Данное квадратное уравнение не имеет действительных корней, следовательно, на заданном промежутке нет точек экстремума.

2. Проверим значения функции на концах промежутка:

y(-7) = (-7+3)^2 * (-7+10) + 10 = 6^2 * 3 + 10 = 108 + 10 = 118 y(6) = (6+3)^2 * (6+10) + 10 = 9^2 * 16 + 10 = 1296 + 10 = 1306

Таким образом, наименьшее значение функции y на промежутке [-7;6] равно 118.