Question

Решить показательное уравнение 3^3x-2 = 3 и 16^x - 6 × 4^x - 160 = 0

Answer 1

1) 3^(3x-2)=3
3^(3x-2)=3^1
3x-2=1
x=1
2) делаем замену 4^x=a a должно быть больше 0!
тогда
a^2-6a-160=0
Разложим на множители
(a-16)(a+10)=0
a=16 a=-10(не подходит т.к a>0)
Обратная замена
4^x=16 
x=2
ответ 2

Answer 2

Давайте решим уравнение по шагам.

Уравнение: \(3^{3x-2} + 16^x - 6 \times 4^x - 160 = 0\)

1. Приведем все слагаемые к виду основания 2 и 3: \[3^{3x-2} = \frac{2^{3x-2}}{2^{3x-2}} \quad \text{и} \quad 16^x = (2^4)^x = 2^{4x}\]

Теперь уравнение выглядит так: \[\frac{2^{3x-2}}{2^{3x-2}} + 2^{4x} - 6 \times 4^x - 160 = 0\]

2. Упростим выражение: \[\frac{1}{1} + 2^{4x} - 6 \times 2^{2x} - 160 = 0\]

\[1 + 2^{4x} - 24 \times 2^x - 160 = 0\]

3. Перепишем \(2^{4x}\) в виде \((2^x)^4\): \[1 + (2^x)^4 - 24 \times 2^x - 160 = 0\]

Обозначим \(y = 2^x\), тогда у нас получится квадратное уравнение: \[1 + y^4 - 24y - 160 = 0\]

4. Решим квадратное уравнение относительно \(y\).

После решения квадратного уравнения найдем значения \(y\) и подставим их обратно, чтобы найти значения \(x\).

5. Проверим корни уравнения в исходном уравнении, чтобы убедиться, что они являются действительными корнями.

Этот метод позволит нам найти значения \(x\), удовлетворяющие уравнению.