Question

Докажите что если в трехзначном числе две последние одинаковые , а сумма его цифр делится на 7, то и само число делится на 7

Answer 1

Решение:
abc=100а+10b+c=2a+3b+c (mod 7)=b-c (mod 7). так как 2(a+b+c)=0 (mod 7). Значит abc делится на 7 тогда и только тогда, когда b - c делится на 7. Но так как b,c <7, то это условие равносильно тому, что b=c.
-------------------------------------------------------------------------
как - то так)

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции.

Пусть трехзначное число представлено в виде abc, где a, b и c - цифры числа.

Предположим, что сумма цифр числа abc делится на 7 и две последние цифры числа одинаковые, то есть b = c.

Тогда сумма цифр числа abc может быть записана как a + b + c = a + b + b = a + 2b.

По предположению, сумма цифр делится на 7: a + 2b ≡ 0 (mod 7).

Теперь рассмотрим следующее трехзначное число, которое получается при прибавлении 700 к числу abc. Обозначим его как (abc + 700).

Сумма цифр нового числа равна a + 7 + b + 7 + b = a + 2b + 14.

По предположению, сумма цифр делится на 7: a + 2b + 14 ≡ 0 (mod 7).

Упростим это уравнение: a + 2b + 14 ≡ a + 2b + 7 + 7 ≡ a + 2b (mod 7).

Таким образом, новое число (abc + 700) также удовлетворяет условиям задачи и делится на 7.

Мы можем повторить этот процесс добавления 700 к числу abc неограниченное количество раз, и каждое новое число будет делиться на 7.

Таким образом, мы доказали, что если в трехзначном числе две последние цифры одинаковые и сумма его цифр делится на 7, то и само число делится на 7.