Question

Помогите решить уравнение 9х^4-9х^2+2=0

Answer 1

$9x^4-9x^2+2=0\\x^2_{1,2}=\frac{9^+_-\sqrt{81-72}}{18}=\frac{9^+_-3}{18}\\\\x_1^2=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}\ \ \ \ \ \ \ \ x_2^2=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}\\x_{1,2}=^+_-\sqrt\frac{2}{3}\ \ \ \ \ \ \ \ x_{3,4}=^+_-\sqrt\frac{1}{3}$

Answer 2

Конечно, давайте решим уравнение \(9x^4 - 9x^2 + 2 = 0\).

Обозначим \(y = x^2\), тогда уравнение примет вид:

\[9y^2 - 9y + 2 = 0.\]

Теперь решим это квадратное уравнение. Используем квадратное уравнение в общем виде \(ax^2 + bx + c = 0\), где в нашем случае \(a = 9\), \(b = -9\), и \(c = 2\). Формула для нахождения корней квадратного уравнения:

\[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.\]

Подставим значения:

\[y = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2}}{2 \cdot 9}.\]

\[y = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 72}}{18}.\]

\[y = \frac{9 \pm \sqrt{9}}{18}.\]

Теперь разберем два случая:

1. Положительный знак:

\[y_1 = \frac{9 + 3}{18} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}.\]

2. Отрицательный знак:

\[y_2 = \frac{9 - 3}{18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}.\]

Таким образом, у нас есть два значения \(y\): \(y_1 = \frac{2}{3}\) и \(y_2 = \frac{1}{3}\).

Теперь вернемся к исходной переменной:

1. Для \(y_1 = \frac{2}{3}\): \(x^2 = \frac{2}{3}\), следовательно, \(x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}\).

2. Для \(y_2 = \frac{1}{3}\): \(x^2 = \frac{1}{3}\), следовательно, \(x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}\).

Таким образом, уравнение \(9x^4 - 9x^2 + 2 = 0\) имеет четыре корня:

\[x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}, \quad x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}.\]