Question

Реши систему уравнений x³+27y³=54 x²-3xy+9y²=9

Answer 1

Решение смотри в приложении

Answer 2

Давайте решим данную систему уравнений. Перепишем ее для удобства:

\[ \begin{cases} x^3 - 27y^3 = 54 \\ x^2 - 3xy + 9y^2 = 9 \end{cases} \]

Для начала рассмотрим первое уравнение:

\[x^3 - 27y^3 = 54\]

Это уравнение является разностью кубов:

\[(x - 3y)(x^2 + 3xy + 9y^2) = 54\]

Теперь рассмотрим второе уравнение:

\[x^2 - 3xy + 9y^2 = 9\]

Это уравнение является квадратным:

\[(x - 3y)^2 = 9\]

Таким образом, у нас есть система двух уравнений:

\[ \begin{cases} (x - 3y)(x^2 + 3xy + 9y^2) = 54 \\ (x - 3y)^2 = 9 \end{cases} \]

Теперь рассмотрим два случая:

1. \((x - 3y) = 3\)

Подставим это значение во второе уравнение:

\[3^2 = 9\]

Это верное уравнение. Теперь найдем значения \(x\) и \(y\) из первого уравнения:

\[ \begin{align*} (x - 3y)(x^2 + 3xy + 9y^2) &= 54 \\ (3)(x^2 + 3xy + 9y^2) &= 54 \\ x^2 + 3xy + 9y^2 &= 18 \end{align*} \]

Теперь подставим \(x = 3y\) из второго уравнения:

\[ \begin{align*} (3y)^2 + 3(3y)y + 9y^2 &= 18 \\ 9y^2 + 9y^2 + 9y^2 &= 18 \\ 27y^2 &= 18 \\ y^2 &= \frac{2}{3} \end{align*} \]

Отсюда получаем два значения \(y\):

\[y = \pm\sqrt{\frac{2}{3}}\]

Подставим значения \(y\) в уравнение \(x = 3y\):

\[x = 3\sqrt{\frac{2}{3}} \quad \text{или} \quad x = -3\sqrt{\frac{2}{3}}\]

2. \((x - 3y) = -3\)

Подставим это значение во второе уравнение:

\[(-3)^2 = 9\]

Это верное уравнение. Теперь найдем значения \(x\) и \(y\) из первого уравнения:

\[ \begin{align*} (x - 3y)(x^2 + 3xy + 9y^2) &= 54 \\ (-3)(x^2 + 3xy + 9y^2) &= 54 \\ x^2 + 3xy + 9y^2 &= -18 \end{align*} \]

Теперь подставим \(x = 3y\) из второго уравнения:

\[ \begin{align*} (3y)^2 + 3(3y)y + 9y^2 &= -18 \\ 9y^2 + 9y^2 + 9y^2 &= -18 \\ 27y^2 &= -18 \end{align*} \]

Это уравнение не имеет решений в действительных числах.

Таким образом, у нас есть два решения:

1. \(x = 3\sqrt{\frac{2}{3}}, \ y = \sqrt{\frac{2}{3}}\) 2. \(x = -3\sqrt{\frac{2}{3}}, \ y = -\sqrt{\frac{2}{3}}\)

Это решения системы уравнений.