Question

Исследуйте последовательность X(n)= (n^2+3)/2n^2 на ограниченность и монотонность

Answer 1

(2n+3)дробная черта 2n умножить на 2.

Answer 2

Последовательность X(n) = (n^2 + 3) / (2n^2)

Для исследования ограниченности и монотонности последовательности X(n) = (n^2 + 3) / (2n^2), мы можем проанализировать ее поведение при увеличении значения n.

Ограниченность последовательности

Чтобы определить, является ли последовательность ограниченной, мы можем рассмотреть ее предел. Если предел существует, то последовательность будет ограниченной.

Давайте найдем предел последовательности X(n) при n стремящемся к бесконечности:

lim(n->∞) (n^2 + 3) / (2n^2)

Мы можем упростить это выражение, разделив каждый член на n^2:

lim(n->∞) (1 + 3/n^2) / 2

При n, стремящемся к бесконечности, 3/n^2 стремится к нулю. Поэтому предел можно записать как:

lim(n->∞) (1 + 0) / 2 = 1/2

Таким образом, предел последовательности X(n) равен 1/2. Это означает, что последовательность ограничена сверху и снизу значением 1/2.

Монотонность последовательности

Чтобы определить монотонность последовательности, мы можем проанализировать изменение ее членов при увеличении значения n.

Давайте рассмотрим разность между соседними членами последовательности:

X(n+1) - X(n) = [(n+1)^2 + 3] / [2(n+1)^2] - (n^2 + 3) / (2n^2)

Мы можем упростить это выражение:

X(n+1) - X(n) = [(n^2 + 2n + 1 + 3) - (n^2 + 3)] / [2n^2(n+1)^2]

X(n+1) - X(n) = (2n + 1) / [2n^2(n+1)^2]

Мы видим, что разность X(n+1) - X(n) положительна для всех положительных значений n. Это означает, что последовательность X(n) является строго возрастающей.

Вывод

Таким образом, последовательность X(n) = (n^2 + 3) / (2n^2) ограничена сверху и снизу значением 1/2 и является строго возрастающей.