Question

1) 5cos2x-42sinx-13=0 2) 11sin2x-6cos^2x-4=0

Answer 1

1) 5cos2x -42sinx -13 =0 ;
5(1-2sin²x) - 42sinx -13 =0 ;
10sin²x) + 42sinx +8 =0 ;
5sin²x) + 21sinx +4 =0 ;  * * * замена  t =sinx ;  |t| ≤1 . * * *
5t² +21t +4 = 0 ; * * * D =21² -4*5*4 =441- 80 =361 =19² * * *
t₁ =(-21-19)/2*5 = -4  * * * |t₁| = |-4| = 4> 0 . * * *
t₁ =(-21+19)/2*5 = -2/10 = -1/5. 
[ sinx =- 4  ; sinx = -1/5.
sinx = -1/5 ;
x =(-1)^(n+1)arcsin(1/5) +πn , n∈Z.
-------
2) 11sin2x-6cos²x-4=0 ;
22sinxcosx -6cos²x -4(sin²x +cos²x) =0 ;
2sin²x -11sinx*cosx  + 5cos²x =0 ;
2tq²x - 11tqx  + 5 =0 ; * * * замена  t =tqx ; * * *
2t² - 11t  + 5 =0  ; * * * D =11² -4*2*5 =121- 40 =81 =9² * * *
[ t =(11- 9)/4=1/2; t =(11+9)/4=5.
tqx =1/2 ⇒ x =arctq(1/2) +πn ,n∈Z.
t =5   ⇒   x =arctq5 +πn ,n∈Z.

Answer 2

Давайте решим эти уравнения по очереди.

Решение уравнения 1: 5cos(2x) - 42sin(x) - 13 = 0

Для начала, давайте приведем это уравнение к более удобному виду. Мы можем переписать cos(2x) с помощью формулы двойного угла для косинуса:

5(2cos^2(x) - 1) - 42sin(x) - 13 = 0

Теперь, если мы объединим подобные члены, получим следующее уравнение:

10cos^2(x) - 5 - 42sin(x) - 13 = 0

10cos^2(x) - 42sin(x) - 18 = 0

Мы можем заменить cos^2(x) на 1 - sin^2(x), так как sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

10(1 - sin^2(x)) - 42sin(x) - 18 = 0

10 - 10sin^2(x) - 42sin(x) - 18 = 0

-10sin^2(x) - 42sin(x) - 8 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно sin(x). Мы можем решить его с помощью стандартных методов решения квадратных уравнений. Давайте воспользуемся квадратным трехчленным уравнением вида as^2 + bs + c = 0, где s = sin(x):

-10s^2 - 42s - 8 = 0

Для начала, мы можем поделить все коэффициенты на -2 для удобства:

5s^2 + 21s + 4 = 0

Теперь, чтобы решить это квадратное уравнение, мы можем использовать формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

где a = 5, b = 21 и c = 4. Вычислим дискриминант:

D = 21^2 - 4*5*4 = 441 - 80 = 361

D > 0, поэтому у уравнения есть два действительных корня.

Теперь, чтобы найти значения sin(x), мы можем использовать формулу:

s = (-b ± √D) / (2a)

где a = 5, b = 21 и D = 361. Подставим значения:

s = (-21 ± √361) / (2*5)

s = (-21 ± 19) / 10

Таким образом, у нас есть два значения sin(x):

s1 = (-21 + 19) / 10 = -0.2 s2 = (-21 - 19) / 10 = -4

Теперь, чтобы найти значения x, мы можем использовать обратные функции синуса (sin^-1). Но перед этим давайте убедимся, что значения sin(x) находятся в диапазоне от -1 до 1. Оба значения, -0.2 и -4, выходят за пределы этого диапазона, поэтому уравнение 5cos(2x) - 42sin(x) - 13 = 0 не имеет действительных решений.

Решение уравнения 2: 11sin(2x) - 6cos^2(x) - 4 = 0

Давайте также приведем это уравнение к более удобному виду. Мы можем использовать формулу двойного угла для синуса, чтобы переписать sin(2x):

11(2sin(x)cos(x)) - 6cos^2(x) - 4 = 0

22sin(x)cos(x) - 6cos^2(x) - 4 = 0

Теперь, если мы объединим подобные члены, получим следующее уравнение:

-6cos^2(x) + 22sin(x)cos(x) - 4 = 0

-6cos^2(x) + 22sin(x)cos(x) = 4

Мы можем поделить оба выражения на 2:

-3cos^2(x) + 11sin(x)cos(x) = 2

Теперь мы можем заменить cos^2(x) на 1 - sin^2(x), так как sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

-3(1 - sin^2(x)) + 11sin(x)(1 - sin^2(x)) = 2

-3 + 3sin^2(x) + 11sin(x) - 11sin^3(x) = 2

11sin^3(x) - 3sin^2(x) + 11sin(x) - 1 = 0

Теперь мы имеем кубическое уравнение относительно sin(x). Решение кубических уравнений может быть сложным, но в данном случае мы можем заметить, что sin(x) = 1 является корнем этого уравнения. Это может быть проверено путем подстановки sin(x) = 1 в уравнение:

11(1)^3 - 3(1)^2 + 11(1) - 1 = 11 - 3 + 11 - 1 = 18 - 4 = 14 ≠ 0

Таким образом, sin(x) = 1 не является решением этого уравнения.

Таким образом, уравнение 11sin(2x) - 6cos^2(x) - 4 = 0 не имеет действительных решений.

В обоих уравнениях нет действительных решений. Пожалуйста, уточните, если у вас есть еще вопросы.