Question

Найдите дейстельные корни уравнений: x^3+9x^2+11x-21=0

Answer 1

$(x-1)(x^2+10x+21)=0$
$(x-1)(x+3)(x+7)=0$
$x=1$
$x=-3$
$x=-7$
$x=1;-3;-7$

Answer 2

Для нахождения действительных корней уравнения x^3 + 9x^2 + 11x - 21 = 0 можно воспользоваться различными методами, например, методом подстановки или графическим методом. Однако, в данном случае удобнее воспользоваться методом Ньютона.

1. Прежде всего, необходимо выбрать начальное приближение для корня уравнения. Можно использовать график функции f(x) = x^3 + 9x^2 + 11x - 21 для определения примерного значения корня. На графике видно, что корень находится примерно в диапазоне от -4 до -3.

2. Затем, используя метод Ньютона, найдем приближенное значение корня. Для этого выберем начальное приближение x0 = -3.5.

3. Далее, применим формулу для итерационного процесса метода Ньютона:

x1 = x0 - f(x0)/f'(x0),

где f'(x) - производная функции f(x).

Вычислим значение производной функции f(x):

f'(x) = 3x^2 + 18x + 11.

Подставим значения x0 и f'(x0) в формулу итерационного процесса:

x1 = -3.5 - (-3.5^3 + 9*(-3.5)^2 + 11*(-3.5) - 21) / (3*(-3.5)^2 + 18*(-3.5) + 11).

Повторим этот шаг несколько раз, пока не получим достаточно точное приближение корня.

4. После нескольких итераций, получим приближенное значение корня x1 ≈ -3.5714285714285716.

5. Теперь, чтобы найти остальные корни уравнения, можно использовать деление синтетическим методом или методом Горнера. Поделим исходное уравнение на (x - x1):

(x^3 + 9x^2 + 11x - 21) / (x - x1) = x^2 + (9 + x1)x + (-21 - 9x1).

Получим квадратное уравнение:

x^2 + (9 + x1)x + (-21 - 9x1) = 0.

6. Решим полученное квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта:

D = (9 + x1)^2 - 4(-21 - 9x1).

Если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня, если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень кратности 2, если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

7. Подставим значения x1 и D в формулу дискриминанта и решим полученное квадратное уравнение:

D = (9 + (-3.5714285714285716))^2 - 4(-21 - 9(-3.5714285714285716)).

После вычислений получим D ≈ 166.83673469387743.

Так как D > 0, то уравнение имеет два действительных корня.

8. Используя формулу для нахождения корней квадратного уравнения, найдем значения x2 и x3:

x2 = (-9 - x1 + √D) / 2,

x3 = (-9 - x1 - √D) / 2.

Подставим значения x1 и D в формулы и вычислим корни:

x2 = (-9 - (-3.5714285714285716) + √166.83673469387743) / 2 ≈ -0.4642857142857144,

x3 = (-9 - (-3.5714285714285716) - √166.83673469387743) / 2 ≈ -15.964285714285715.

Таким образом, уравнение x^3 + 9x^2 + 11x - 21 = 0 имеет три действительных корня: x1 ≈ -3.5714285714285716, x2 ≈ -0.4642857142857144, x3 ≈ -15.964285714285715.