Question

Помогите решить задачу с помощью квадратного уравнения: Моторная лодка прошла 10 км по течению реки и 12 км против течения, затратив на весь путь 2 часа. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите скорость лодки.

Answer 1

Правильный ответ: 5 км/ч

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать квадратное уравнение.

Пусть x - это скорость лодки в стоячей воде (без течения реки), тогда скорость лодки по течению реки будет равна x + 3 км/ч, а против течения - x - 3 км/ч.

Мы знаем, что лодка прошла 10 км по течению реки и 12 км против течения, затратив на весь путь 2 часа. Мы можем использовать формулу расстояния: расстояние = скорость * время.

Используем эту формулу для движения по течению реки: 10 = (x + 3) * t1,

где t1 - время движения по течению реки.

Используем эту формулу для движения против течения: 12 = (x - 3) * t2,

где t2 - время движения против течения.

Также у нас есть условие, что затраченное время на весь путь равно 2 часа: t1 + t2 = 2.

У нас есть система из трех уравнений. Мы можем решить ее методом подстановки или методом комбинирования уравнений.

Давайте решим эту систему уравнений методом комбинирования.

Раскроем скобки в первом уравнении: 10 = xt1 + 3t1.

Раскроем скобки во втором уравнении: 12 = xt2 - 3t2.

Теперь мы можем переписать систему уравнений в виде: xt1 + 3t1 = 10, xt2 - 3t2 = 12, t1 + t2 = 2.

Решение системы уравнений:

Из третьего уравнения мы можем выразить t2 через t1: t2 = 2 - t1.

Сделаем замену во втором уравнении: x(2 - t1) - 3(2 - t1) = 12.

Раскроем скобки: 2x - xt1 - 6 + 3t1 = 12.

Сгруппируем подобные члены: -xt1 + 3t1 + 2x - 6 = 12.

-xt1 + 3t1 = 12 + 6 - 2x.

2t1 - xt1 = 18 - 2x.

t1(2 - x) = 18 - 2x.

t1 = (18 - 2x) / (2 - x).

Теперь мы можем заменить t1 в первом уравнении: x((18 - 2x) / (2 - x)) + 3((18 - 2x) / (2 - x)) = 10.

Раскроем скобки: 18x - 2x^2 + 54 - 6x = 10(2 - x).

18x - 2x^2 + 54 - 6x = 20 - 10x.

Сгруппируем подобные члены: -2x^2 + 18x - 6x + 54 = 20 - 10x.

-2x^2 + 12x + 54 = 20 - 10x.

Перенесем все члены влево: -2x^2 + 12x + 10x + 54 - 20 = 0.

-2x^2 + 22x + 34 = 0.

Теперь у нас есть квадратное уравнение, которое мы можем решить.

Решение квадратного уравнения:

Для решения квадратного уравнения вида ax^2 + bx + c = 0, мы можем использовать формулу дискриминанта.

Дискриминант (D) вычисляется по формуле: D = b^2 - 4ac.

В нашем случае: a = -2, b = 22, c = 34.

Вычислим дискриминант: D = 22^2 - 4(-2)(34).

D = 484 + 272.

D = 756.

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √D) / (2a).

x = (-22 ± √756) / (2(-2)).

x = (-22 ± √756) / (-4).

x = (22 ± √756) / 4.

x = (22 ± √(36*21)) / 4.

x = (22 ± 6√21) / 4.

x = (11 ± 3√21) / 2.

Теперь мы нашли два возможных значения скорости лодки в стоячей воде.

Ответ: Скорость лодки может быть равна (11 + 3√21) / 2 км/ч или (11 - 3√21) / 2 км/ч.