Question

Четырехугольник ABCD вписан в окружность, точка О - точка пересечения диагоналей AC и BD. Известно, что S abo=4S bco, ВО=1, DO=16. Найти АС.

Answer 1

Обозначим угол $BOC=a$. Тогда угол  $BOA=180-a$ . 
Площадь треугольника $S_{AOB}=\frac{AO*1*cosa}{2}\\ S_{BOC}=\frac{OC*1*sina}{2}\\\\ S_{AOB}=4S_{BOC}\\ S_{ABC}=\frac{5OC*sina}{2}\\\\ S_{OCD}=8OCcosa\\ S_{AOD}=8AOsina\\ S_{CDA}=8OCcosa+8AOsina\\\\ S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{CDA}=2.5OC*sina+8OCcosa+8AOsina$
но  с другой стороны площадь четырехугольника равна 
$S_{ABCD}=(AO+OC)*8.5*sina$ 
Тогда  $2.5OC*sina+8OCcosa+8AOsina=(AO+OC)*8.5*sina$ 
По свойству хорд  получаем 
$AO*OC=16*1$
выражая и подставляя в уравнение 
$2.5*\frac{16}{AO}*sina+8*\frac{16}{AO}*cosa+8*AO*sina=$$(AO+\frac{16}{AO})*8.5*sina$ 
откуда получаем что 
 $(AO^2+192)sina=256cosa\\ AO^2=256ctga-192$
 но  по  условию $S_{ABO}=4S_{BCO}\\ AO*OC=16\\\\ S_{ABO}=\frac{AO*cosa}{2}\\ S_{BOC}=\frac{OC*sina}{2}\\ \frac{AO*cosa}{OC*sina}=4\\ AO*cosa=4OC*sina\\ \frac{AO}{OC}=4tga\\ \frac{AO}{\frac{16}{AO}}=4tga\\ AO=8\sqrt{tga}$
  Уравнение 
 $256ctga-192=8\sqrt{tga}$
  Откуда решение 
 $x=\frac{\pi}{4}$   второй не подходит 
 Откуда $AO=8 \ \ OC=2\\\\ AC=8+2=10$                 
    

Answer 2

Пусть точка O - центр окружности, в которую вписан четырехугольник ABC