Question

Решите систему уравнений: x+3y-z=2, -2x+4y+2z=4, 3x+y-5z=-6. Желательно, непросто решить пример, а ещё и объснить как вы решали, потому что мне решают и вроде понятно, как вы решаете, а берусь за другой пример, уже затруднения с этим

Answer 1

{ x + 3y - z = 2
{ -2x + 4y + 2z = 4
{ 3x + y - 5z = -6
Второе уравнение можно разделить на 2
{ x + 3y - z = 2
{ -x + 2y + z = 2
{ 3x + y - 5z = -6
2 уравнение складываем с 1. 1 ур-ние умножаем на -3 и складываем с 3.
{ x + 3y - z = 2
{ 0x + 5y + 0z = 4
{ 0x - 8y - 2z = -12
3 уравнение делим на -2
4y + z = 6
Со 2 уравнение нам сильно повезло - сразу y = 4/5, подставляем в 3
{ x + 3y - z = 2
{ y = 4/5
{ 4*4/5 + z = 6
Решаем 3 уравнение
{ x + 3y - z = 2
{ y = 4/5
{ z = 6 - 16/5 = 30/5 - 16/5 = 14/5
Подставляем это все в 1 уравнение
x + 3*4/5 - 14/5 = 2
x + 12/5 - 14/5 = 2
x - 2/5 = 2
x = 2 + 2/5 = 12/5

Главное правило - умножаешь 2 и 3 строки на такие числа, чтобы при сложении их с 1 строкой одна из переменных (например, х) обращалась в 0.
Получаешь 2 уравнения с 2 неизвестными y и z.
А потом тоже самое - умножаешь одно уравнение так, чтобы при сложении со вторым переменная y обратилась в 0. Остается одно уравнение с z.
В твоем случае второй шаг не понадобился - во 2 уравнении сразу у нашли.
Ну а дальше просто - подставляешь z во второе уравнение, находишь y.
Потом подставляешь y и z в первое уравнение и находишь х.

Answer 2

Конечно, давайте решим систему уравнений:

\[ \begin{align*} 1. & \quad x + 3y - z = 2 \\ 2. & \quad -2x + 4y + 2z = 4 \\ 3. & \quad 3x + y - 5z = -6 \\ \end{align*} \]

Для решения этой системы уравнений мы можем воспользоваться методом сложения уравнений. Целью является устранение одной из переменных, чтобы получить систему с двумя уравнениями и двумя переменными.

Шаг 1: Умножим первое уравнение на 2, чтобы сделать коэффициент при \( x \) в уравнении 1 равным -2, и сложим его с уравнением 2:

\[ \begin{align*} 2(x + 3y - z) & = 2 \cdot 2 \\ -2x + 4y + 2z & = 4 \\ \hline 2x + 6y - 2z & = 4 \\ -2x + 4y + 2z & = 4 \\ \end{align*} \]

Получаем уравнение \( 6y = 8 \), откуда \( y = \frac{4}{3} \).

Шаг 2: Подставим полученное значение \( y \) в уравнение 1:

\[ x + 3 \left( \frac{4}{3} \right) - z = 2 \]

\[ x + 4 - z = 2 \]

\[ x - z = -2 \]

Шаг 3: Подставим значение \( y \) в уравнение 3:

\[ 3x + \frac{4}{3} - 5z = -6 \]

\[ 9x + 4 - 15z = -18 \]

\[ 9x - 15z = -22 \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\[ \begin{align*} 1. & \quad x - z = -2 \\ 2. & \quad 9x - 15z = -22 \\ \end{align*} \]

Мы можем решить эту систему методом подстановки или методом матриц. Давайте воспользуемся методом подстановки.

Из уравнения \(x - z = -2\), мы можем выразить \(x\):

\[ x = z - 2 \]

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

\[ 9(z - 2) - 15z = -22 \]

\[ 9z - 18 - 15z = -22 \]

\[ -6z = -4 \]

\[ z = \frac{2}{3} \]

Теперь мы знаем значения \(x\), \(y\), и \(z\):

\[ x = \frac{2}{3}, \quad y = \frac{4}{3}, \quad z = \frac{2}{3} \]

Таким образом, решение системы уравнений - \( x = \frac{2}{3} \), \( y = \frac{4}{3} \), \( z = \frac{2}{3} \).