Question

Sin(x) + cos(x) = a/sin(x) Решить при a = 0 и при всех значениях параметра a.

Answer 1

Рассмотрим случай, когда $a = 0$

получаем уравнение
$sin x + cosx = 0$ - однородное тригонометрическое уравнение. Такие уравнения традиционно решаются путём деления обеих частей на $sin x$ либо на $cos x$. Поделим на косинус.

$\frac{sinx}{cosx} + 1 = 0 \\ tgx + 1 = 0 \\ tg x = -1 \\ x = - \frac{ \pi }{4} + \pi n$

P.S.: здесь надо остановиться и отметить, почему можно разделить на синус, либо косинус. Как мы знаем, имеем право делить лишь на выражения, которые нигде в своей области определения не обращаются в 0. Почему косинус нигде не обратится в 0? Предположим обратное. Пусть $cos x = 0$. Но тогда из самого уравнения находим, что и $sin x = 0$. Может ли такое быть? Нет, не может. В силу основного тригонометрического тождества $sin^{2}x = 1 - cos^{2} x = 1 - 0 = 1$ - противоречие. Поэтому косинус ВСЮДУ отличен от 0 и можно на него разделить, что мы и сделали.

Пусть теперь $a \neq 0$. Тогда у нас имеется уравнение вида:
$sin x + cos x = \frac{a}{sinx}$
Помножим обе части на $sin x$ с условием, разумеется, что $sin x \neq 0$
Имеем систему:
$\left \{ {{ sin^{2}x+sinxcosx = a } \atop {sin x \neq 0}} \right.$
Разбираемся с первым уравнением. Оно тоже однородное(сводится к нему), только уже второй степени.

$sin^{2} x + sinxcosx = a( sin^{2}x + cos^{2}x) \\ sin^{2} x - a sin^{2} x + sinxcosx - a cos^{2} x = 0 \\ (1-a) sin^{2} x + sinxcosx - a cos^{2} x = 0$

Здесь уже хорошо видно, что если $a = 1$,то уравнение  имеет вид:

$sin xcosx - cos^{2} x = 0 \\ cosx(sinx - cos x) = 0$
Отсюда $cos x = 0$                   или              $sinx - cos x = 0$
             $x = \frac{ \pi }{2} + \pi n$                  $ctg x = 1 \\ x = \frac{ \pi }{4} + \pi k$   

Последнее уравнение тоже однородное, мы поделили на $sin x \neq 0$. Решения первого уравнения также удовлетворяют неравенству, поскольку если cos x = 0, то sin x = 1.

Пусть $a \neq 1$ Тогда  делим обе части на $sin^{2} x \neq 0$
$1-a + \frac{cosx}{sinx} - a \frac{ cos^{2}x }{ sin^{2} x} = 0 \\ a ctg^{2} x - ctgx + a - 1 = 0$
Пусть ctg x = t
$a t^{2} - t + a - 1 = 0$.
Это уравнение является квадратным, поскольку $a \neq 0$ Его дискриминант
$D = 1 - 4a(a-1) = 1 - 4 a^{2} + 4a = -(4 a^{2} - 4a - 1)$
Далее рассмотрим такие случаи:
1)$D \ \textless \ 0$, тогда квадратное уравнение относительно котангенса не имеет корней.  исходное уравнение не имеет корней. Это произойдёт при:
    $-(4 a^{2} -4a-1) \ \textless \ 0 \\ 4 a^{2} - 4a - 1 \ \textgreater \ 0$
Ищем корни квадратного трёхчлена:
      $D = 16 + 16 = 32 \\ x_{1,2} = \frac{4+- \sqrt{32} }{8} = \frac{1+- \sqrt{2} }{2}$
Решая неравенство, получаем, что при
   $a$∈$(-$∞$, \frac{1- \sqrt{2} }{2} )$∪$( \frac{1+ \sqrt{2} }{2} ,$+∞$)$ исходное уравнение не имеет решений.

2)Если же $D \ \textgreater \ 0$, то есть $4 a^{2} -4a-1 \ \textless \ 0$,
что происходит при $a$∈$( \frac{1- \sqrt{2} }{2} , 0)$∪$(0,1)$∪$(1, \frac{1+ \sqrt{2} }{2})$,то квадратное уравнение имеет два различных корня:
$t_{1,2} = \frac{1+- \sqrt{1 - 4 a^{2} + 4a } }{2a}$
Возвращаемся обратно к x:
$ctg x = \frac{1+ \sqrt{1 - 4 a^{2} + 4a } }{2a}$
       $x = arcctg(\frac{1+ \sqrt{1 - 4 a^{2} + 4a } }{2a}) + \pi n$
                                                           или
    $ctg x = \frac{1- \sqrt{1 - 4 a^{2} + 4a } }{2a} \\ x = arcctg(\frac{1- \sqrt{1 - 4 a^{2} + 4a } }{2a}) + \pi k$

     Вписываются ли эти серии  в условие $sin x \neq 0$?
Пусть $sin x = 0$. Тогда из уравнения моментально получаем, что
                                            $acosx = 0$
         , откуда либо a = 0(мы уже рассмотрели его), либо $cos x = 0$(что невозможно). То есть, все наши серии являются решениями уравнения при всех указанных а.

3)Осталось рассмотреть две граничные точки(при которых D = 0).
        а)Если $a = \frac{1+ \sqrt{2} }{2}$, то
           $t = \frac{1}{2a} = \frac{1}{1+ \sqrt{2} } \\ ctg x = \frac{1}{1+ \sqrt{2} } \\ x = arcctg( \frac{1}{1+ \sqrt{2} } ) + \pi n$ - здесь тоже синус явно отличен от 0.
        б)Если $a = \frac{1 - \sqrt{2} }{2}$, то
             $t = \frac{1}{2a} = \frac{1}{1- \sqrt{2} } \\ ctg x = \frac{1}{1- \sqrt{2} } \\ x = arcctg( \frac{1}{1- \sqrt{2} } ) + \pi n$

Таким образом, можем записать ответ к задаче в таком виде:
Ответ: при $a \ \textless \ \frac{1- \sqrt{2} }{2}$ - уравнение не имеет решений; при $\frac{1- \sqrt{2} }{2} \leq a \ \textless \ 0$ уравнение имеет две серии решений $x_{1,2} =$$arcctg(\frac{1+- \sqrt{1-4 a^{2} +4a} }{2a} ) + \pi n$; при $a = 0$ уравнение имеет единственную серию решений
$x = - \frac{ \pi }{4} + \pi n$; при $0 \ \textless \ a \leq \frac{1+ \sqrt{2} }{2}$ аналогично $x_{1,2} = arcctg( \frac{1+- \sqrt{1-4 a^{2} +4a} }{2a} )$; при $a \ \textgreater \ \frac{1+ \sqrt{2} }{2}$  решений нет.

Answer 2

Для начала преобразуем данное уравнение:

sin(x) + cos(x) = a/sin(x)

Умножим обе части уравнения на sin(x):

sin(x) * sin(x) + cos(x) * sin(x) = a

sin^2(x) + cos(x) * sin(x) = a

Используем тригонометрическую формулу sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

1 - cos^2(x) + cos(x) * sin(x) = a

cos^2(x) - cos(x) * sin(x) + (1 - a) = 0

Обозначим cos(x) = t:

t^2 - t * sin(x) + (1 - a) = 0

Теперь решим это квадратное уравнение относительно t:

t = (sin(x) ± √(sin^2(x) - 4(1 - a)))/2

Так как cos(x) = t, то:

cos(x) = (sin(x) ± √(sin^2(x) - 4(1 - a)))/2

Теперь рассмотрим два случая:

1. При a = 0:

cos(x) = (sin(x) ± √(sin^2(x) - 4))/2

2. При всех значениях параметра a:

cos(x) = (sin(x) ± √(sin^2(x) - 4(1 - a)))/2

В обоих случаях получаем уравнение, зависящее от значения sin(x). Чтобы найти решение, необходимо решить это уравнение относительно sin(x). Далее, найдя значения sin(x), можно найти значения cos(x) с использованием найденных значений sin(x).