Question

Нужно доказать тождество sina/1+cosa=1-cosa/sina

Answer 1

Ну, вроде как, вот это подойдет

Answer 2

Давайте рассмотрим левую часть и попробуем упростить её:

\[ \frac{\sin a}{1 - \cos a} \]

Чтобы упростить эту дробь, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение знаменателя, которое равно \(1 + \cos a\):

\[ \frac{\sin a}{1 - \cos a} \cdot \frac{1 + \cos a}{1 + \cos a} \]

Раскроем скобки в числителе:

\[ \sin a \cdot (1 + \cos a) \]

Раскроем скобки в знаменателе:

\[ (1 - \cos a) \cdot (1 + \cos a) \]

Теперь у нас есть:

\[ \frac{\sin a \cdot (1 + \cos a)}{(1 - \cos a) \cdot (1 + \cos a)} \]

Упростим числитель:

\[ \sin a + \sin a \cdot \cos a \]

Упростим знаменатель:

\[ (1 - \cos^2 a) \]

Теперь используем тригонометрическую идентичность \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\), чтобы заменить \(\cos^2 a\) в знаменателе:

\[ (1 - \cos^2 a) = \sin^2 a \]

Таким образом, наше выражение становится:

\[ \frac{\sin a + \sin a \cdot \cos a}{\sin^2 a} \]

Теперь выделим \(\sin a\) в числителе:

\[ \frac{\sin a \cdot (1 + \cos a)}{\sin^2 a} \]

Раскроем скобки в числителе:

\[ \frac{\sin a + \sin a \cdot \cos a}{\sin^2 a} \]

Теперь сократим \(\sin a\) в числителе и знаменателе:

\[ \frac{1 + \cos a}{\sin a} \]

Таким образом, левая часть дроби равна:

\[ \frac{\sin a}{1 - \cos a} = \frac{1 + \cos a}{\sin a} \]

Таким образом, тождество подтверждено.