Question

Решить уравнение √2 cos2x = cosx+sinx

Answer 1

√2cos2x = cosx+sinx
√2(cos²x - sin²x) - (cosx + sinx) = 0
√2(sinx + cosx)(cosx - sinx) - (cosx + sinx) = 0
(sinx + cosx)(√2cosx - √2sinx - 1) = 0
1) sinx + cosx = 0
sinx = -cosx
tgx = -1
x = -π/4 + πn, n ∈ Z
2) √2cosx - √2sinx - 1 = 0
√2cosx - √2sinx  = 1
√2/2cosx - √2/2sinx = 1/2
cosx·cos(arccos(√2/2) - sinx·sin(arccos(√2/2)) = 1/2
cos(x + arccos(√2/2)) = 1/2
cosx(x + π/4) = 1/2
x + π/4  = ±π/3 + 2πk, k ∈ Z
x =  ± π/3 - π/4 + 2πk, k ∈ Z
Ответ: x = -π/4 + πn, n ∈ Z; ± π/3 - π/4 + 2πk, k ∈ Z.

Answer 2

Для решения данного уравнения √2 cos(2x) = cos(x) sin(x), мы можем использовать различные методы, включая алгебраические и графические методы. Давайте решим это уравнение поэтапно.

Шаг 1: Приведение уравнения к более простому виду

Используем тригонометрические тождества для приведения уравнения к более простому виду. В данном случае, мы можем использовать тригонометрическое тождество cos(2x) = 1 - 2sin^2(x).

Теперь уравнение становится: √2 (1 - 2sin^2(x)) = cos(x) sin(x).

Шаг 2: Приведение уравнения к квадратному виду

Домножим обе части уравнения на sin(x), чтобы избавиться от √2 в левой части:

√2 (1 - 2sin^2(x)) sin(x) = cos(x) sin^2(x).

Раскрываем скобки и приводим к общему знаменателю:

√2 sin(x) - 2√2 sin^3(x) = cos(x) sin^2(x).

Шаг 3: Приведение уравнения к квадратному виду

Теперь мы можем привести уравнение к квадратному виду. Положим y = sin(x) и заменим sin^2(x) на (1 - cos^2(x)):

√2 y - 2√2 y^3 = cos(x) (1 - cos^2(x)).

√2 y - 2√2 y^3 = cos(x) - cos^3(x).

Учитывая, что y = sin(x), мы можем заменить sin(x) на y:

√2 y - 2√2 y^3 = cos(x) - cos^3(x).

Шаг 4: Приведение уравнения к квадратному виду

Теперь мы можем привести уравнение к квадратному виду, заменив cos(x) на 1 - sin^2(x):

√2 y - 2√2 y^3 = 1 - sin^2(x) - (1 - sin^2(x))^3.

√2 y - 2√2 y^3 = 1 - sin^2(x) - (1 - 3sin^2(x) + 3sin^4(x) - sin^6(x)).

Шаг 5: Приведение уравнения к квадратному виду

Домножим обе части уравнения на √2:

2y - 4√2 y^3 = √2 - √2 sin^2(x) - √2 (1 - 3sin^2(x) + 3sin^4(x) - sin^6(x)).

2y - 4√2 y^3 = √2 - √2 sin^2(x) - √2 + 3√2 sin^2(x) - 3√2 sin^4(x) + √2 sin^6(x).

Упростим уравнение:

2y - 4√2 y^3 = -2 + 2√2 sin^2(x) - 3√2 sin^4(x) + √2 sin^6(x).

Шаг 6: Приведение уравнения к квадратному виду

Уравнение теперь имеет вид 2y - 4√2 y^3 = -2 + 2√2 sin^2(x) - 3√2 sin^4(x) + √2 sin^6(x).

Это кубическое уравнение относительно y. Решение этого уравнения требует дальнейших математических методов, которые могут быть сложными и трудоемкими.

В целом, решение данного уравнения требует проведения более детальных математических операций и использования численных методов, таких как численное решение или приближенные методы. Если вам необходимо точное решение, рекомендуется обратиться к математическому программному обеспечению или консультации с математиком.