Question

Помогите решить,пожалуйста!! lg(x-2)+lg(x+6)=lg 9

Answer 1

ОДЗ x>2 _________________________________________________

Answer 2

Данное уравнение содержит логарифмы с различными аргументами. Чтобы решить его, мы будем использовать свойства логарифмов.

Первое свойство, которое мы используем, гласит: $\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(b \cdot c)$.

Применяя это свойство к нашему уравнению, получим:

$\log(x-2) + \log(x+6) = \log(9)$.

Второе свойство, которое мы используем, гласит: $\log_a(b) = c$ эквивалентно $a^c = b$.

Применяя это свойство к нашему уравнению, получим:

$(x-2)(x+6) = 9$.

Раскрыв скобки, получим:

$x^2 + 6x - 2x - 12 = 9$.

$x^2 + 4x - 21 = 0$.

Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение. Мы можем использовать факторизацию или квадратное уравнение.

Решим его с помощью факторизации. Мы ищем два числа, сумма которых равна 4 (коэффициент перед $x$), а произведение равно -21 (свободный член). Найдем такие числа:

$x^2 + 7x - 3x - 21 = 0$.

$x(x + 7) - 3(x + 7) = 0$.

$(x - 3)(x + 7) = 0$.

Теперь мы получили два возможных значения $x$: $x = 3$ и $x = -7$.

Проверим оба значения, подставив их обратно в исходное уравнение:

Для $x = 3$:

$\log(3-2) + \log(3+6) = \log(9)$.

$\log(1) + \log(9) = \log(9)$.

$0 + 1 = 1$.

Уравнение выполняется для $x = 3$.

Для $x = -7$:

$\log(-7-2) + \log(-7+6) = \log(9)$.

Логарифмы отрицательных чисел не определены, поэтому $x = -7$ не является решением уравнения.

Таким образом, решением исходного уравнения является $x = 3$.