Question

Найдите все первообразные функции f(x)=8x^3+3-5^x

Answer 1

f(x)=8x^3+3-5^x
F(x)=8x^4/4+3x-5^x/lnx+C=2x^4+3x-5^x/ln5+C

Answer 2

Для того чтобы найти первообразные функции функции f(x) = 8x^3 + 3 - 5^x, мы должны найти функцию F(x), производная которой равна f(x). В данном случае нам нужно найти функцию F(x), производная которой равна 8x^3 + 3 - 5^x.

Для начала рассмотрим каждый член функции f(x) по отдельности и найдем их первообразные.

Первообразная для 8x^3

Для нахождения первообразной для 8x^3 мы используем формулу интегрирования степенной функции:

∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C,

где C - произвольная постоянная.

Применяя эту формулу к 8x^3, получаем:

∫8x^3 dx = (1/(3+1)) * x^(3+1) + C = (1/4) * x^4 + C1,

где C1 - новая произвольная постоянная.

Первообразная для 3

Функция 3 представляет собой константу, и ее первообразная равна:

∫3 dx = 3x + C2,

где C2 - новая произвольная постоянная.

Первообразная для 5^x

Функция 5^x является экспоненциальной функцией, и для ее интегрирования мы используем следующую формулу:

∫a^x dx = (a^x)/(ln(a)) + C,

где a - основание экспоненты (в данном случае 5), ln(a) - натуральный логарифм основания экспоненты (в данном случае ln(5)), C - произвольная постоянная.

Применяя эту формулу к 5^x, получаем:

∫5^x dx = (5^x)/(ln(5)) + C3,

где C3 - новая произвольная постоянная.

Общая первообразная для f(x)

Теперь мы можем объединить все полученные первообразные и получить общую первообразную для функции f(x) = 8x^3 + 3 - 5^x:

F(x) = (1/4) * x^4 + 3x + (5^x)/(ln(5)) + C,

где C - произвольная постоянная.

Таким образом, общая первообразная для функции f(x) = 8x^3 + 3 - 5^x равна (1/4) * x^4 + 3x + (5^x)/(ln(5)) + C, где C - произвольная постоянная.