Question

Решит уровнение (sin2x+sin4x)/(cos2x-cos4x)=ctgx

Answer 1

Рис. 1 - Решение данного примера.
Рис. 2 - Таблица для решения этого примера.
Дополнение: последнее действие - вынесение "-" из-под знака синуса, т.е. sin(-x)=-sin(x).

Answer 2

Давайте рассмотрим данное уравнение:

\[\frac{\sin(2x) + \sin(4x)}{\cos(2x) - \cos(4x)} = \cot(x)\]

Для начала, мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами для синусов и косинусов:

1. \[\sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a)\] 2. \[\cos(2a) = \cos^2(a) - \sin^2(a)\] 3. \[\sin(4a) = 2\sin(2a)\cos(2a)\] 4. \[\cos(4a) = \cos^2(2a) - \sin^2(2a)\]

Подставим эти тождества в уравнение:

\[\frac{2\sin(x)\cos(x) + 2\sin(2x)\cos(2x)}{\cos^2(x) - \cos^2(2x) + \sin^2(x) - \sin^2(2x)} = \cot(x)\]

Теперь приведем подобные и упростим выражение:

\[\frac{2\sin(x)\cos(x) + 2\sin(2x)\cos(2x)}{\sin^2(x) + \sin^2(2x) - \cos^2(x) - \cos^2(2x)} = \cot(x)\]

Теперь воспользуемся тем, что \(\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}\) и \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\):

\[\frac{2\sin(x)\cos(x) + 2\sin(2x)\cos(2x)}{\sin^2(x) + \sin^2(2x) - \cos^2(x) - \cos^2(2x)} = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}\]

Теперь умножим обе стороны на \(\sin(x)\):

\[2\cos(x) + 2\sin(2x)\cos(2x) = \cos(x)\]

Раскроем произведение \(\sin(2x)\cos(2x)\) снова с использованием тригонометрических тождеств:

\[2\cos(x) + 2(\sin(x)\cos(x))(2\cos^2(x) - 1) = \cos(x)\]

Упростим:

\[2\cos(x) + 4\sin(x)\cos^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) = \cos(x)\]

Теперь выразим все через \(\sin(x)\) и \(\cos(x)\):

\[2\cos(x) + 2\cos(x)(2\cos(x) - 1) - 2\sin(x)\cos(x) = \cos(x)\]

\[2\cos(x) + 4\cos^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) - 2\cos(x) = \cos(x)\]

\[4\cos^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) = 0\]

\[2\cos(x)(2\cos(x) - \sin(x)) = 0\]

Это уравнение имеет два решения:

1. \(\cos(x) = 0\) 2. \(2\cos(x) - \sin(x) = 0\)

Давайте рассмотрим каждый случай:

1. Если \(\cos(x) = 0\), то \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\), где \(k\) - целое число.

2. Если \(2\cos(x) - \sin(x) = 0\), то \(\sin(x) = 2\cos(x)\). Делая замену \(\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\), получаем \(\tan(x) = 2\). Таким образом, \(x = \arctan(2) + k\pi\), где \(k\) - целое число.

Итак, уравнение имеет бесконечное множество решений:

\[x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad x = \arctan(2) + k\pi\]

где \(k\) - целое число.