Question

Пожалуйста решите уравнение (желательное ПОЛНОЕ решение)1) sin(в квадрате) x + sin x - 2 = 02) 3 sin(в квадрате) x - cos x + 1 = 03) cos(в квадрате) x - cos x - 2 = 0

Answer 1

1)sin^2 x + sin x -2 = 0

sin x = t

t^2 +t-2=0

t1=-2     t2 = 1

 

sin x = -2 решения нет

sin x= 1  x =п\2 + 2пn, n z

 

Answer 2

Давайте поочередно решим каждое из уравнений.

1) \( \sin^2(x) + \sin(x) - 2 = 0 \)

Для решения этого уравнения давайте введем новую переменную. Обозначим \( y = \sin(x) \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 + y - 2 = 0 \]

Теперь давайте решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение для нахождения корней:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \( a = 1 \), \( b = 1 \), и \( c = -2 \).

\[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} \]

\[ y = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} \]

Таким образом, у нас есть два возможных значения \( y \):

\[ y_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \]

\[ y_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2 \]

Теперь, у нас есть два уравнения для \( y \):

1. \( \sin(x) = 1 \) 2. \( \sin(x) = -2 \)

Уравнение \( \sin(x) = 1 \) имеет решение \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \) - любое целое число.

Уравнение \( \sin(x) = -2 \) не имеет решений, так как значение синуса ограничено от -1 до 1.

Таким образом, решения первого уравнения: \( x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \) - любое целое число.

2) \( 3\sin^2(x) - \cos(x) + 1 = 0 \)

Это уравнение также может быть решено с использованием тригонометрических тождеств и квадратного уравнения.

Давайте введем новую переменную \( y = \sin(x) \). Тогда уравнение примет вид:

\[ 3y^2 - \sqrt{1 - y^2} + 1 = 0 \]

Теперь решим это уравнение относительно \( y \). После нахождения \( y \), мы сможем получить значения для \( x \).

3) \( \cos^2(x) - \cos(x) - 2 = 0 \)

Давайте введем новую переменную \( y = \cos(x) \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 - y - 2 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение относительно \( y \):

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \( a = 1 \), \( b = -1 \), и \( c = -2 \).

\[ y = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} \]

\[ y = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} \]

Таким образом, у нас есть два возможных значения \( y \):

\[ y_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 \]

\[ y_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 \]

Теперь, у нас есть два уравнения для \( y \):

1. \( \cos(x) = 2 \) 2. \( \cos(x) = -1 \)

Уравнение \( \cos(x) = 2 \) не имеет решений, так как значение косинуса ограничено от -1 до 1.

Уравнение \( \cos(x) = -1 \) имеет решение \( x = \pi + 2\pi n \), где \( n \) - любое целое число.

Таким образом, решения третьего уравнения: \( x = \pi + 2\pi n \), где \( n \) - любое целое число.