Question

Докажите, что если x-y-z=0, то x(yz+1)-y(xz+1)-z(xy+1) = -xyz

Answer 1

Умножим каждую скобку на x, y, z  соответственно
получим: xyz+x-yxz-y-zxy-z=-xzy
сократим xyz и -yzx
получим x-y-zxy=-xzy 
-xzy=-xzy 

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение. У нас есть следующее равенство:

x - y - z = 0

Мы хотим доказать, что:

x(yz + 1) - y(xz + 1) - z(xy + 1) = -xyz

Давайте посмотрим на левую часть этого уравнения и попробуем упростить его:

x(yz + 1) - y(xz + 1) - z(xy + 1)

= xyz + x - xyz - yz - xy + y - xz - z - z(xy + 1)

= x - y - z - xy - xz - yz - z(xy + 1)

Теперь давайте заменим x - y - z, используя исходное уравнение:

= 0 - xy - xz - yz - z(xy + 1)

= -xy - xz - yz - z(xy + 1)

Теперь давайте факторизуем это выражение:

= -xy - xz - yz - zxy - z

= -xyz - xz - yz - z

= -xyz - (xz + yz + z)

Теперь давайте рассмотрим правую часть уравнения:

-xyz

Мы видим, что это исходное выражение, которое мы только что получили. Таким образом, мы доказали, что если x - y - z = 0, то x(yz + 1) - y(xz + 1) - z(xy + 1) = -xyz.

Таким образом, утверждение доказано.