Question

Найдите наибольшее натуральное решение неравенства (x²-x-12)(x²-11x+28)²≤0

Answer 1

Разложи на множтели и используй метод интервалов

Answer 2

1)x1+x2=1 U x1*x2=-12⇒x1=-3 U x2=4
2)x1+x2=11 U x1*x2=28⇒x1=4 U x2=7
(x+3)(x-4)(x-4)²(x-7)²≤0
(x+3)(x-4)³(x-7)²≤0
         +              _                +                  +
-----------------------------------------------------------
               -3                  4                    7
x∈[-3;4] U x=7
наибольшее натуральное х=7

Answer 3

Чтобы найти наибольшие натуральные решения неравенства \((x^2 - x - 12)(x^2 - 11x + 28)^2 \leq 0\), нужно проанализировать знак выражения в каждом из интервалов, образованных корнями уравнения. Рассмотрим каждый множитель отдельно:

1. \(x^2 - x - 12 = 0\) имеет корни \(x = -3\) и \(x = 4\). 2. \(x^2 - 11x + 28 = 0\) имеет корни \(x = 4\) и \(x = 7\).

Теперь рассмотрим знаки выражения \((x^2 - x - 12)\) и \((x^2 - 11x + 28)^2\) на каждом из интервалов:

1. При \(x < -3\): Оба множителя отрицательны, так как \(x^2 - x - 12\) отрицательно, а \((x^2 - 11x + 28)^2\) положительно. Произведение отрицательного и положительного числа будет отрицательным.

2. При \(-3 < x < 4\): Первый множитель положителен (\(x^2 - x - 12\) положительно), второй множитель тоже положителен, так как \(x^2 - 11x + 28 > 0\) при \(-3 < x < 4\). Произведение положительного и положительного числа также положительно.

3. При \(4 < x < 7\): Оба множителя отрицательны, так как \(x^2 - x - 12\) отрицательно, а \((x^2 - 11x + 28)^2\) положительно. Произведение отрицательного и положительного числа будет отрицательным.

4. При \(x > 7\): Первый множитель положителен (\(x^2 - x - 12\) положительно), второй множитель тоже положителен, так как \(x^2 - 11x + 28 > 0\) при \(x > 7\). Произведение положительного и положительного числа также положительно.

Теперь рассмотрим само неравенство \((x^2 - x - 12)(x^2 - 11x + 28)^2 \leq 0\). Оно будет выполняться в тех интервалах, где произведение отрицательно или равно нулю.

Таким образом, наибольшие натуральные решения будут \(x = -3\), \(x = 4\), и \(x = 7\).