Question

Решите уравнение sin2x=sin4x

Answer 1

...................................

Answer 2

Sin2x-sin4x=0
sin2x - 2 sin2x*cos2x=0
sin2x (1-2 cos2x) =0
sin 2x =0 ⇒2x=πn, n∈Z ⇒ x₁ = πn\ 2, n∈Z
или
1-2 cos2x=0⇒cos2x=1\2 ⇒2x=⁺- arccos 1\2+πn, n∈Z; 2x=⁺-π\3+2πn, n∈Z
x₂= ⁺-π\6+πn, n∈Z

Answer 3

Данное уравнение sin(2x) = sin(4x) является тригонометрическим уравнением, которое можно решить с помощью свойств тригонометрии и алгебры. Давайте разберемся подробнее.

Используем тригонометрические тождества

Для решения данного уравнения мы можем использовать тригонометрические тождества, особенно формулу синуса двойного угла:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Заменим sin(2x) в уравнении:

2sin(x)cos(x) = sin(4x)

Преобразуем выражение

Мы можем заменить sin(4x) с помощью формулы синуса двойного угла:

2sin(x)cos(x) = 2sin(2x)cos(2x)

Теперь мы имеем:

2sin(x)cos(x) = 2sin(2x)cos(2x)

Сокращаем общие множители

Мы можем сократить общие множители на обеих сторонах уравнения:

sin(x)cos(x) = sin(2x)cos(2x)

Используем формулы синуса и косинуса двойного угла

Мы можем заменить sin(2x) и cos(2x) с помощью формул синуса и косинуса двойного угла:

sin(x)cos(x) = 2sin(x)cos^2(x) - 2cos(x)sin^2(x)

Переносим все члены в одну сторону

Теперь мы можем перенести все члены в одну сторону уравнения:

0 = 2sin(x)cos^2(x) - 2cos(x)sin^2(x) - sin(x)cos(x)

0 = sin(x)cos(x)(2cos(x) - 2sin(x) - 1)

Рассмотрим два случая

Теперь мы можем рассмотреть два случая:

1) sin(x)cos(x) = 0 2) 2cos(x) - 2sin(x) - 1 = 0

Решение первого случая

В первом случае sin(x)cos(x) = 0, у нас есть два возможных решения:

а) sin(x) = 0, тогда x = 0 + kπ, где k - целое число. б) cos(x) = 0, тогда x = π/2 + kπ, где k - целое число.

Решение второго случая

Во втором случае 2cos(x) - 2sin(x) - 1 = 0, мы можем преобразовать уравнение:

2(cos(x) - sin(x)) = 1

cos(x) - sin(x) = 1/2

Мы можем использовать тригонометрическое тождество cos(π/4) = sin(π/4) = 1/√2:

cos(x) - sin(x) = cos(π/4)

Теперь мы имеем:

cos(x) - sin(x) = cos(π/4)

sin(π/4) = cos(π/4)

x = π/4 + kπ, где k - целое число.

Объединение решений

Таким образом, решением уравнения sin(2x) = sin(4x) являются следующие значения x:

1) x = 0 + kπ, где k - целое число. 2) x = π/2 + kπ, где k - целое число. 3) x = π/4 + kπ, где k - целое число.

Это все возможные значения x, которые удовлетворяют данному уравнению.