Question

Решить неравенства методом интервалаx^2-9x-22/ x+5 >0

Answer 1

Найдя корни числителя, можно разложить его на множители.
$\frac{(x-11)(x+2)}{(x+5)} >0$
Тогда точки смены знака у этой функции -5, -2, 11. При очень больших х (>11) все скобки положительны, значит и выражение больше 0. Потом знаки чередуются, то есть ответ будет (-5; -2) и (11; +беск)

Answer 2

Для решения данного неравенства с помощью метода интервалов, мы должны сначала найти критические точки, а затем определить знак функции в каждом интервале, чтобы найти интервалы, в которых неравенство выполняется.

Нахождение критических точек:

Для начала, давайте решим квадратное уравнение `x^2 - 9x - 22 = 0`, чтобы найти критические точки. Мы можем сделать это, используя формулу дискриминанта или разложение на множители.

1. Разложение на множители: Начнем с разложения на множители уравнения `x^2 - 9x - 22 = 0`: `(x - 11)(x + 2) = 0`

Здесь мы получили два множителя: `(x - 11)` и `(x + 2)`. Чтобы найти значения `x`, при которых уравнение равно нулю, мы должны приравнять каждый множитель к нулю и решить получившиеся линейные уравнения: - `(x - 11) = 0` => `x = 11` - `(x + 2) = 0` => `x = -2`

Таким образом, у нас есть две критические точки: `x = 11` и `x = -2`.

2. Формула дискриминанта: Другой способ найти критические точки - это использовать формулу дискриминанта для квадратного уравнения `x^2 - 9x - 22 = 0`. Дискриминант `D` вычисляется по формуле `D = b^2 - 4ac`, где `a`, `b` и `c` - коэффициенты квадратного уравнения. В нашем случае `a = 1`, `b = -9` и `c = -22`.

Подставим значения в формулу дискриминанта: `D = (-9)^2 - 4(1)(-22) = 81 + 88 = 169`

Таким образом, дискриминант `D` равен 169. Теперь мы можем использовать дискриминант, чтобы найти критические точки: - Если `D > 0`, то у нас есть две различные критические точки. - Если `D = 0`, то у нас есть одна критическая точка. - Если `D < 0`, то у нас нет критических точек.

В нашем случае, `D > 0`, поэтому у нас есть две различные критические точки.

Таким образом, мы нашли две критические точки: `x = 11` и `x = -2`.

Определение знака функции в каждом интервале:

Теперь, чтобы определить знак функции `f(x) = x^2 - 9x - 22` в каждом интервале, мы можем выбрать произвольные значения `x` внутри каждого интервала и проверить знак `f(x)`.

1. Первый интервал: `(-∞, -2)` Возьмем `x = -3`. Подставим его в функцию `f(x)`: `f(-3) = (-3)^2 - 9(-3) - 22 = 9 + 27 - 22 = 14` Значит, в интервале `(-∞, -2)` функция `f(x)` положительна.

2. Второй интервал: `(-2, 11)` Возьмем `x = 0`. Подставим его в функцию `f(x)`: `f(0) = (0)^2 - 9(0) - 22 = 0 - 0 - 22 = -22` Значит, в интервале `(-2, 11)` функция `f(x)` отрицательна.

3. Третий интервал: `(11, ∞)` Возьмем `x = 12`. Подставим его в функцию `f(x)`: `f(12) = (12)^2 - 9(12) - 22 = 144 - 108 - 22 = 14` Значит, в интервале `(11, ∞)` функция `f(x)` положительна.

Нахождение интервалов, в которых неравенство выполняется:

Теперь, когда мы знаем знак функции `f(x)` в каждом интервале, мы можем определить интервалы, в которых неравенство `x^2 - 9x - 22 > 0` выполняется.

- В интервале `(-∞, -2)` функция `f(x)` положительна, поэтому неравенство выполняется в этом интервале.

Таким образом, решением данного неравенства является интервал `(-∞, -2)`.