Question

Решить уравнения высшей степени: 1) x^3 - 3x^2 - 4x = 0 2) (2x - 1)^4 - x^2 = 0 3) x^3 - 3x^2 - x +3 = 0

Answer 1

x^3 - 3x^2 - 4x = 0,

x(x^2-3x-4)=0,

x1=0,

x^2-3x-4=0,

x2=-1, x3=4;

 

(2x - 1)^4 - x^2 = 0,

((2x-1)^2)^2-x^2=0,

((2x-1)^2-x)((2x-1)^2+x)=0,

(2x-1)^2-x=0,

4x^2-5x+1=0,

D=9,

x1=1/4, x2=1;

(2x-1)^2+x=0,

4x^2-3x+1=0,

D=-7<0; нет решений

 

x^3 - 3x^2 - x +3 = 0,

x^2(x-3)-(x-3)=0,

(x-3)(x^2-1)=0,

x-3=0, x1=3;

x^2-1=0, x^2=1, x2=-1, x3=1

Answer 2

Давайте решим каждое из уравнений.

1) \(x^3 - 3x^2 - 4x = 0\)

Факторизуем общий множитель:

\[x(x^2 - 3x - 4) = 0\]

Теперь у нас есть два множителя:

\[x = 0\]

и

\[x^2 - 3x - 4 = 0\]

Решим второе уравнение квадратным способом или факторизацией:

\[x^2 - 3x - 4 = 0\]

\[(x - 4)(x + 1) = 0\]

Таким образом, у нас три решения:

\[x = 0, \quad x = 4, \quad x = -1\]

2) \((2x - 1)^4 - x^2 = 0\)

Раскроем скобку:

\[(2x - 1)^4 - x^2 = 0\]

Пусть \(y = 2x - 1\), тогда уравнение примет вид:

\[y^4 - x^2 = 0\]

Теперь можно факторизовать:

\[(y^2 - x)(y^2 + x) = 0\]

Возвращаемся к переменной \(x\):

\[(2x - 1 - x)(2x - 1 + x) = 0\]

\[-x - 1 = 0 \quad \text{или} \quad 3x - 1 = 0\]

Отсюда получаем два решения:

\[x = -1 \quad \text{или} \quad x = \frac{1}{3}\]

3) \(x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0\)

Это уравнение не факторизуется простым способом. Мы можем воспользоваться методами решения уравнений высших степеней, например, методом Ньютона или методом деления степеней.

В данном случае я использую метод деления степеней. Попробуем подставить некоторые значения \(x\), чтобы найти корень. Если \(x = 1\) - это не корень, а если \(x = -1\), то уравнение выполняется.

Таким образом, одним из корней является \(x = -1\). Теперь мы можем разделить исходное уравнение на \((x + 1)\):

\[x^3 - 3x^2 - x + 3 = (x + 1)(x^2 - 4x + 3) = 0\]

Теперь решим квадратное уравнение:

\[x^2 - 4x + 3 = 0\]

\[(x - 3)(x - 1) = 0\]

Таким образом, у нас есть три корня:

\[x = -1, \quad x = 1, \quad x = 3\]

Итак, решениями уравнений являются:

1) \(x = 0, \quad x = 4, \quad x = -1\)

2) \(x = -1, \quad x = \frac{1}{3}\)

3) \(x = -1, \quad x = 1, \quad x = 3\)