Question

Log x (x+2) >2 x-внизу, (X+2) вверху

Answer 1

Logx (x+2)>2
logx (x+2)>logx (x^2)
x+2>x^2 и x>0
x^2-x-2 <0
D=1-(-2)×4=9=3^2
x=(1+3)/2=2 или x=(1-3)/2=-1
x принадлежит (0;2)
Ответ: (0;2)

Answer 2

Давайте рассмотрим данное неравенство и решим его:

\[ \log(x) + \log(x + 2) > 2 \]

Для начала, вспомним некоторые свойства логарифмов. Если у нас есть \(\log(a) + \log(b)\), то это эквивалентно \(\log(ab)\). Используем это свойство для упрощения неравенства:

\[ \log(x) + \log(x + 2) = \log(x(x + 2)) \]

Теперь у нас есть уравнение:

\[ \log(x(x + 2)) > 2 \]

Следующим шагом мы преобразуем логарифм в экспоненту:

\[ x(x + 2) > 10^2 \]

\[ x(x + 2) > 100 \]

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Раскроем скобки и приведем его к стандартному виду:

\[ x^2 + 2x > 100 \]

\[ x^2 + 2x - 100 > 0 \]

Теперь найдем корни этого уравнения. Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac \]

где \( a = 1 \), \( b = 2 \), и \( c = -100 \). Подставим значения:

\[ D = 2^2 - 4(1)(-100) \]

\[ D = 4 + 400 \]

\[ D = 404 \]

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два вещественных корня. Формула для корней выглядит так:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{404}}{2} \]

\[ x = -1 \pm \sqrt{101} \]

Таким образом, у нас есть два корня: \( x_1 = -1 + \sqrt{101} \) и \( x_2 = -1 - \sqrt{101} \). Теперь мы можем определить интервалы, в которых неравенство выполняется.

Уравнение \( x^2 + 2x - 100 > 0 \) дает положительные значения на интервалах:

\[ x < -1 - \sqrt{101} \] или \( x > -1 + \sqrt{101} \)

Итак, неравенство \( \log(x) + \log(x + 2) > 2 \) выполняется на интервалах:

\[ x < -1 - \sqrt{101} \] или \( x > -1 + \sqrt{101} \)