Question

Log5(x+1)-log5(1-x)=log2(2x+3)

Answer 1

Log2(x+1) - log2(2x-1) = 1
log 2 {(x+1)/(2x-1)} = log 2(2)
(x+1)/(2x-1) = 2
x+ 1 = 2(2x - 1)
x + 1 = 4x - 2
4x - x = 1 + 2
3x = 3
x = 1

Answer 2

Для решения уравнения \( \log_5(x+1) - \log_5(1-x) = \log_2(2x+3) \), мы будем использовать свойства логарифмов.

1. Избавление от логарифмов: Используем свойства логарифмов, чтобы объединить логарифмы с одинаковой базой: \[ \log_5\frac{(x+1)}{(1-x)} = \log_2(2x+3) \]

2. Исключение логарифмов: Поскольку логарифмы равны, их аргументы также равны: \[ \frac{(x+1)}{(1-x)} = 2x+3 \]

3. Решение уравнения: Решим полученное уравнение относительно \(x\): \[ (x+1) = (1-x)(2x+3) \]

Раскроем скобки: \[ x+1 = -2x^2 - x + 3 \]

Переносим все члены в одну сторону: \[ 2x^2 + x - 2 = 0 \]

4. Факторизация: Попробуем факторизовать уравнение: \[ (2x-1)(x+2) = 0 \]

Отсюда получаем два возможных значения \(x\): \[ x = \frac{1}{2} \quad \text{или} \quad x = -2 \]

5. Проверка корней: Подставим найденные значения \(x\) обратно в исходное уравнение, чтобы убедиться, что они удовлетворяют ему.

- При \(x = \frac{1}{2}\): \[ \log_5\left(\frac{3}{2}\right) - \log_5\left(\frac{-1}{2}\right) = \log_2(4) \] Убедимся, что оба выражения равны между собой.

- При \(x = -2\): \[ \log_5(-1) - \log_5(3) = \log_2(-1) \] Обратите внимание, что логарифм от отрицательного числа не определен в области действительных чисел, поэтому \(x = -2\) не является корректным решением.

Таким образом, уравнение имеет единственное корректное решение: \(x = \frac{1}{2}\).