Question

Доказать, что при любых значениях а верно неравенство: 1)a³<(a+1)(a²-a+1) 2)(a+7)(a+1)<(a+2)(a+6)

Answer 1

(a + 7) (a+1) < (a + 2) (a + 6)
раскрываем скобки: a^2 + a + 7a+ 7 < a^2 + 6a + 2a + 12
приводим подобные: a^2 + 8a + 7 < a^2 + 8a + 12
сокращаем, остается: 7 < 12

Answer 2

Давайте рассмотрим данное неравенство и попробуем его доказать. Неравенство, которое дано:

\[a^3 < (a+1)(a^2 - a + 1) + 2 < (a+2)(a+6).\]

Давайте развернем скобки и упростим выражения.

1. Рассмотрим левую часть неравенства:

\[a^3 < (a+1)(a^2 - a + 1).\]

Развернем скобки:

\[a^3 < a^3 + a^2 - a^2 + a + a - 1.\]

Сократим подобные члены:

\[a^3 < a^3 + 2a - 1.\]

Вычитаем \(a^3\) из обеих сторон:

\[0 < 2a - 1.\]

Добавляем 1 к обеим сторонам:

\[1 < 2a.\]

Делим обе стороны на 2:

\[\frac{1}{2} < a.\]

Таким образом, левая часть неравенства выполняется при \(\frac{1}{2} < a\).

2. Рассмотрим правую часть неравенства:

\[(a+1)(a^2 - a + 1) + 2 < (a+2)(a+6).\]

Развернем скобки:

\[a^3 + a^2 - a^2 + a + a - 1 + 2 < a^2 + 8a + 12.\]

Сократим подобные члены:

\[a^3 + 2a + 1 < a^2 + 8a + 12.\]

Вычитаем \(a^2 + 8a + 12\) из обеих сторон:

\[a^3 - a^2 - 6a - 11 < 0.\]

Факторизуем:

\[(a-2)(a^2 + a + 5) < 0.\]

Теперь определяем интервалы, на которых это неравенство выполняется. Интересующий нас корень — \(a = 2\).

Таким образом, правая часть неравенства выполняется при \(a < 2\).

Итак, у нас есть два условия:

- Левая часть выполняется при \(\frac{1}{2} < a\). - Правая часть выполняется при \(a < 2\).

Объединим эти условия:

\[\frac{1}{2} < a < 2.\]

Таким образом, данное неравенство выполняется при \(\frac{1}{2} < a < 2\).