Question

Помогите найти f `(x),f `(0),f `(1/5) в f(x)=arcsin3x

Answer 1

Помогите найти f'(x), f'(0), f'(1/5) если f(x)=arcsin(3x)
Решение:
f(x) =arcsin(3x)
Найдем производную.
Производная от сложной функции равна
$f'(u) = \frac{df}{du}* \frac{du}{dx}$

$f'(x) =(arcsin(3x))' = \frac{1}{ \sqrt{1-(3x)^2}}*(3x)'= \frac{3}{ \sqrt{1-9x^2}}$

При х=0
$f'(0) = \frac{3}{ \sqrt{1-9*0}}=3$

При х=1/5

$f'( \frac{1}{5} ) = \frac{3}{ \sqrt{1-9 (\frac{1}{5})^2}}=\frac{3}{ \sqrt{1-\frac{9}{25}}}=\frac{3}{ \sqrt{\frac{25-9}{25}}}=\frac{3}{ \sqrt{\frac{16}{25}}}=\frac{3}{ \frac{4}{5}}= \frac{15}{4}=3,75$

Answer 2

Для начала, давайте определим функцию f(x) = arcsin(3x). Затем мы можем найти ее производные первого порядка, чтобы найти значения f'(x), f'(0) и f'(1/5).

Определение функции f(x)

Функция f(x) = arcsin(3x) является обратной функцией синуса. Она возвращает значение угла, чей синус равен 3x. Это означает, что f(x) будет возвращать значения только в интервале от -π/2 до π/2.

Нахождение производных

Чтобы найти производные функции f(x) = arcsin(3x), мы воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (chain rule).

Правило дифференцирования сложной функции (chain rule) гласит: Если у нас есть функция f(g(x)), то ее производная равна произведению производной внешней функции f'(g(x)) и производной внутренней функции g'(x).

Давайте посчитаем производную f'(x):

f(x) = arcsin(3x)

Для применения chain rule, мы должны заметить, что внешняя функция f(x) - это arcsin(x), а внутренняя функция g(x) - это 3x.

Теперь возьмем производную внешней функции f'(x):

f'(x) = d(arcsin(x))/dx

Производная арксинуса

Для нахождения производной арксинуса мы можем использовать производную синуса, так как эти функции являются обратными друг другу.

Производная синуса (sin(x)) равна косинусу (cos(x)).

Таким образом, производная арксинуса (arcsin(x)) равна 1/cos(arcsin(x)).

Вспомним, что cos(arcsin(x)) можно найти с использованием теоремы Пифагора:

cos(arcsin(x)) = sqrt(1 - x^2)

Теперь мы можем найти производную f'(x):

f'(x) = d(arcsin(x))/dx = 1/sqrt(1 - x^2)

Подсчет f'(0)

Чтобы найти значение производной f'(x) в точке x = 0, мы подставим x = 0 в выражение для f'(x):

f'(0) = 1/sqrt(1 - 0^2) = 1/sqrt(1) = 1/1 = 1

Подсчет f'(1/5)

Чтобы найти значение производной f'(x) в точке x = 1/5, мы подставим x = 1/5 в выражение для f'(x):

f'(1/5) = 1/sqrt(1 - (1/5)^2) = 1/sqrt(1 - 1/25) = 1/sqrt(24/25) = 1/sqrt(24)/sqrt(25) = 1/(sqrt(24)/5) = 5/sqrt(24)

Таким образом, f'(1/5) = 5/sqrt(24).

Вывод

Мы определили функцию f(x) = arcsin(3x) и вычислили ее производную f'(x) с использованием правила дифференцирования сложной функции (chain rule). Мы также вычислили значения f'(0) и f'(1/5), которые равны 1 и 5/sqrt(24) соответственно.