Question

докажите, что для любого x справедливо неравенство cos(7+x)sinx<sin(7+x)cosx.уж очень надо)

Answer 1

$\cos(7+x)\sin x\ \textless \ \sin(7+x)\cos x\\ \\ \cos(7+x)\sin x-\sin(7+x)\cos x\ \textless \ 0\\ \\ \sin(7+x-x)\ \textless \ 0\\ \\ \sin7\ \textless \ 0$

1 радиан равен приблизительно 57 градусам, значит

$\sin 7=\sin(7\cdot 57а)=\sin399а$ и поскольку синус лежит в IV четверти(cинус отрицателен), то имеем $\sin399а\ \textless \ 0$. Следовательно $\sin 7 \ \textless \ 0$

Answer 2

Для доказательства данного неравенства рассмотрим функцию f(x) = cos(7+x)sinx - sin(7+x)cosx.

Сначала заметим, что f(0) = cos(7)sin(0) - sin(7)cos(0) = 0, так как sin(0) = 0 и cos(0) = 1.

Теперь рассмотрим производную функции f(x): f'(x) = -sin(7+x)sinx - cos(7+x)cosx.

Производная f'(x) равна нулю, если -sin(7+x)sinx - cos(7+x)cosx = 0.

Для удобства применим тригонометрическую формулу для cos(α-β): cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ.

Тогда -sin(7+x)sinx - cos(7+x)cosx = sin(7+x)(-sinx) - cos(7+x)cosx = -sin(7+x)sinx + cos(7+x)(-cosx) = cos(7+x)cos(-x) - sin(7+x)sin(-x) = cos(7+x-x) = cos(7).

Таким образом, f'(x) = 0 при cos(7) = 0.

Заметим, что cos(7) < 0, так как 7 находится во второй четверти на единичной окружности.

Из этого следует, что f(x) имеет локальный максимум или минимум в точке x, где cos(7) = 0.

Так как f(0) = 0, то f(x) не меняет знака и остается отрицательной для любого x.

Таким образом, неравенство cos(7+x)sinx < sin(7+x)cosx верно для любого x.