Question

Найдите наименьшее значение функции f(x)=e^(2x)-11e^x+26 на отрезке [-1;2]

Answer 1

Ну, во-первых, производная, конечно-же.
Она проста и выглядит следующим образом:
$f'(x)=2e^{2x}-11e^{x} = e^{x} (2e^{x}-11)$
Приравниваем это дело к нулю.
Выходит, либо $e^{x}=0$, что невозможно, либо
$e^{x}= \frac{11}{2}$
Второй вариант подходит. В данном случае можно разобрать три варианта (экстремум и две границы -1 и 2), в формате ЕГЭ, причем, последние два варианта не подойдут, но мы все-же рассмотрим все.
Первое, когда f(-1).
$f(-1)=e^{-2}-11e^{-1}+26=e^{-1}(e^{-1}-11)+26$
Когда f(2):
$f(2)=e^{4}-11e^{2}+26=e^{2}(e^{2}-11)+26$
Когда e^x=11/2:$\frac{121}{4} - \frac{121}{2} +26= -4,25$
Первые два случая явно оба больше нуля, поскольку e^(-1) и e^(2) меньше, чем 11, а помноженные на e^2 и e^(-1) результаты меньше -26 => они больше нуля.
В итоге получаем ответ: -4,25.

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции f(x) = e^(2x) - 11e^x + 26 на отрезке [-1;2], мы можем использовать метод дифференциального исчисления. В этом случае, мы найдем критические точки функции, а затем проверим значения функции в этих точках и на концах отрезка, чтобы определить наименьшее значение.

Нахождение критических точек

1. Найдем производную функции f(x): f'(x) = 2e^(2x) - 11e^x

2. Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение: 2e^(2x) - 11e^x = 0

3. Факторизуем уравнение: e^x(2e^x - 11) = 0

Получаем два возможных значения: e^x = 0 или 2e^x - 11 = 0

Решив второе уравнение, получаем: 2e^x = 11 e^x = 11/2

Возведем оба уравнения в экспоненту: x = ln(11/2) или x = ln(0)

Однако, логарифм от нуля не определен, так что отбросим этот корень.

Таким образом, мы получаем одну критическую точку: x = ln(11/2)

Проверка значений

Теперь, чтобы найти наименьшее значение функции, мы проверим значения функции в найденной критической точке и на концах отрезка [-1;2].

1. Подставим x = -1 в функцию f(x): f(-1) = e^(2*(-1)) - 11e^(-1) + 26 = e^(-2) - 11/e + 26

2. Подставим x = 2 в функцию f(x): f(2) = e^(2*2) - 11e^2 + 26 = e^4 - 11e^2 + 26

3. Подставим x = ln(11/2) в функцию f(x): f(ln(11/2)) = e^(2*ln(11/2)) - 11e^(ln(11/2)) + 26 = (11/2)^2 - 11(11/2) + 26

Вычислим эти значения и сравним их, чтобы найти наименьшее:

f(-1) ≈ -0.074 f(2) ≈ 40.083 f(ln(11/2)) ≈ -1.083

Наименьшее значение функции равно -1.083 и достигается при x = ln(11/2) на отрезке [-1;2].