Question

Найти целые корни многочлена х^3 -5х+4

Answer 1

Многочлен $x^3 -5x+4$ разделим на $(x-1)$
получим 
$x^3 -5x+4 = (x-1)(x^2 +x-4) = 0$

Тогда 
$(x-1) = 0 \\ x = 1$

У квадратного уравнения  $(x^2 +x-4) = 0$, корни не целые
$x_{1,2}= \frac{-b\pm D}{2a}= \frac{-1\pm \sqrt{17} }{2}$

Ответе: $x = 1$

Answer 2

Для нахождения целых корней многочлена нужно проверить все возможные делители свободного члена (в данном случае 4) и коэффициента при старшей степени (в данном случае 1).

Делители свободного члена 4: ±1, ±2, ±4. Делители коэффициента при старшей степени 1: ±1.

Используя эти делители, мы можем применить правило синтетического деления, чтобы проверить, дает ли каждый из этих делителей ноль в остатке. Если делитель даёт ноль в остатке, это означает, что он является корнем многочлена.

Синтетическое деление: ``` 1 | 1 -5 0 4 | 1 -4 -4 |------------- | 1 -4 -4 0 ```

Мы видим, что при делении на 1, остаток равен нулю. Это означает, что 1 является корнем многочлена.

Итак, мы нашли первый целый корень многочлена - x = 1.

Теперь, мы можем применить синтетическое деление снова, чтобы разделить полученный квадратный трехчлен на (x - 1):

Синтетическое деление: ``` 1 | 1 -4 -4 | 1 -3 -1 |------------- | 1 -3 -1 ```

Мы видим, что при делении на 1, остаток равен нулю. Это означает, что 1 является корнем многочлена второй степени, который получается после деления исходного многочлена на (x - 1).

Таким образом, мы нашли второй целый корень многочлена - x = 1.

Теперь у нас остался квадратный трехчлен, который мы можем решить стандартными методами, например, с помощью формулы дискриминанта или метода полного квадрата.

В данном случае, мы можем применить формулу дискриминанта для квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0, где a = 1, b = -3 и c = -1.

Формула дискриминанта: ``` D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 1 * (-1) = 9 + 4 = 13 ```

Дискриминант равен 13.

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

Формула для корней квадратного уравнения: ``` x = (-b ± √D) / (2a) ```

Подставим значения a = 1, b = -3 и D = 13:

x = (-(-3) ± √13) / (2 * 1)
  = (3 ± √13) / 2

Таким образом, мы нашли два дополнительных корня квадратного трехчлена - x = (3 + √13) / 2 и x = (3 - √13) / 2.

Итак, все целые корни многочлена х^3 - 5х + 4 равны: x = 1, x = (3 + √13) / 2 и x = (3 - √13) / 2.