Question

Докажите, что при положительных значениях a, b и c выражение тождественно равно , если a+b≥c

Answer 1

Возведем левую часть в квадрат:

$2(a+b+c)+2\sqrt{(a+b+c+2\sqrt{ac+bc})(a+b+c-2\sqrt{ac+bc})}\\ =2(a+b+c)+2\sqrt{(a+b+c)^2-4(ac+bc)}=\\ =2(a+b+c)+2\sqrt{(a+b-c)^2}=2(a+b+c)+2(a+b-c)=\\=4(a+b)$

Answer 2

Чтобы доказать, что выражение тождественно равно при положительных значениях a, b и c при условии a + b ≥ c, мы можем применить принцип математической индукции.

Для начала, рассмотрим базовый случай, когда a + b = c. В этом случае, если мы подставим a + b вместо c в выражение, мы получим:

(a + b) / c + (c - a - b) / c = (a + b) / (a + b) + (c - a - b) / (a + b) = 1 + (c - a - b) / (a + b) = 1 + (c - a - b) / (a + b) = 1 + 0 = 1

Таким образом, выражение равно 1, когда a + b = c.

Теперь предположим, что выражение верно для некоторого k, то есть, если a + b ≥ c, то (a / c) + ((c - a - b) / c) = k.

Докажем, что выражение также верно для k + 1, то есть, если a + b ≥ c, то (a / c) + ((c - a - b) / c) = k + 1.

Пусть a + b ≥ c. Рассмотрим два случая:

1. Если a + b = c, то мы уже знаем, что выражение равно 1.

2. Если a + b > c, то мы можем записать:

(a / c) + ((c - a - b) / c) = (a / c) + ((c - a - b) / c) = (a / c) + ((c - a - b) / c) + (b / c) - (b / c) = ((a + b) / c) + ((c - a - b) / c) - (b / c) = ((a + b) / c) + (c / c) - (a / c) - (b / c) = (a + b + c - a - b) / c = c / c = 1.

Таким образом, выражение также равно 1, когда a + b > c.

Исходя из базового случая и предположения индукции, мы можем заключить, что выражение тождественно равно 1 при положительных значениях a, b и c при условии a + b ≥ c.