Question

Вычислить значение выражения sin5x - sin3x , если sinx = 2/√5Можете еще пожалуйста написать использованные формулы, спасибо.

Answer 1

Формула: sin a - sin b = 2sin((a-b)/2)*cos((a+b)/2)
sin 5x - sin 3x = 2sin(2x/2)*cos(8x/2) = 2sin x*cos 4x
Формула: cos 4x = cos(2(2x)) = 2cos^2 (2x) - 1 = 2(1 - 2sin^2 x)^2 - 1 =
= 2(4sin^4 x - 4sin^2 x + 1) - 1 = 8sin^4 x - 8sin^2 x + 1
Подставляем
2sin x*cos 4x = 2sin x*(8sin^4 x-8sin^2 x+1) = 16sin^5 x-16sin^3 x+2sin x =
= 16*32/(√5^5) - 16*8/√5^3 + 2*2/√5 = 512/(25√5) - 128/(5√5) + 4/√5 =
= (512√5 - 128*5√5 + 4*25√5)/(25*5) = -28√5/125

Answer 2

Конечно, давайте начнем с выражения для разности синусов:

\[ \sin(a) - \sin(b) = 2 \cdot \cos\left(\frac{a + b}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{a - b}{2}\right) \]

Для данного выражения \( \sin(5x) - \sin(3x) \) мы можем использовать эту формулу, заменив \( a \) на \( 5x \) и \( b \) на \( 3x \). Таким образом, получаем:

\[ \sin(5x) - \sin(3x) = 2 \cdot \cos\left(\frac{5x + 3x}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{5x - 3x}{2}\right) \] \[ = 2 \cdot \cos(4x) \cdot \sin(x) \]

Теперь, зная, что \( \sin(x) = \frac{2}{\sqrt{5}} \), мы можем вычислить значение выражения:

\[ \sin(5x) - \sin(3x) = 2 \cdot \cos(4x) \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} \]

Теперь осталось найти значение \( \cos(4x) \). Для этого мы можем воспользоваться формулой двойного угла для косинуса:

\[ \cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2(\theta) \]

В данном случае, \( \theta = 2x \), поэтому:

\[ \cos(4x) = \cos(2 \cdot 2x) = 1 - 2 \cdot \sin^2(2x) \]

Мы также можем использовать формулу для синуса удвоенного угла:

\[ \sin(2\theta) = 2\sin(\theta) \cdot \cos(\theta) \]

Получим \( \sin(2x) = 2 \cdot \sin(x) \cdot \cos(x) \), а также \( \cos(2x) = 1 - 2 \cdot \sin^2(x) \).

Теперь мы можем использовать эти значения, чтобы найти \( \cos(4x) \):

\[ \cos(4x) = 1 - 2 \cdot \sin^2(2x) = 1 - 2 \cdot \left(2 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot \cos(x)\right)^2 \] \[ = 1 - \frac{8}{5} \cdot \left(\frac{4}{5}\right) = 1 - \frac{32}{25} = \frac{25 - 32}{25} = -\frac{7}{25} \]

Теперь, подставив это значение обратно в наше исходное выражение:

\[ \sin(5x) - \sin(3x) = 2 \cdot \cos(4x) \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = 2 \cdot \left(-\frac{7}{25}\right) \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} \] \[ = -\frac{28}{25\sqrt{5}} \]

Поэтому \( \sin(5x) - \sin(3x) = -\frac{28}{25\sqrt{5}} \).