Question

Помогите пожалуйста F(x)=2cosx-sin2x [-P/2;p/2]

Answer 1

Если производную, то вот:
f'(x) = (2cosx-sin2x)' = -2sinx - cos2x
теперь подставляем:
f'( -P/2 )  = -2*(-1) + 1 = 3
f'(   p/2)  = -2 - 1 = 3
могу ошибиться, этот момент меня смущает cos2x(если умножать 2 на x, то дробь сокращается)

Answer 2

Для начала, давайте найдем производную функции F(x). Для этого применим правила дифференцирования для каждого слагаемого:

F'(x) = (2cosx)' - (sin2x)' = -2sinx - 2cos2x

Теперь найдем критические точки функции F(x), то есть значения x, при которых производная равна нулю или не существует:

-2sinx - 2cos2x = 0

Мы можем разложить cos2x в произведение с помощью тригонометрической формулы cos2x = cos^2x - sin^2x:

-2sinx - 2(cos^2x - sin^2x) = 0

Перенесем все слагаемые на одну сторону:

2cos^2x + 2sinx - 2sin^2x = 0

Теперь мы можем использовать формулы двойного угла для cos^2x и sin^2x:

2(1 - sin^2x) + 2sinx - 2sin^2x = 0

Упростим выражение:

2 - 2sin^2x + 2sinx - 2sin^2x = 0

-4sin^2x + 2sinx + 2 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение относительно sinx. Для этого можно использовать формулу дискриминанта и решить квадратное уравнение.

D = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4(-4)(2) = 4 + 32 = 36

Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня:

sinx = (-2 + √36) / (-4) = (1 + √9) / 2 = (1 + 3) / 2 = 4 / 2 = 2

sinx = (-2 - √36) / (-4) = (1 - √9) / 2 = (1 - 3) / 2 = -2 / 2 = -1

Однако, значение sinx не может быть больше 1 или меньше -1, поэтому полученные значения не подходят.

Таким образом, у функции F(x) нет критических точек на интервале [-π/2; π/2].

Теперь давайте найдем значения функции F(x) в концах интервала:

F(-π/2) = 2cos(-π/2) - sin^2(-π/2) = 2 * 0 - (-1)^2 = 1 F(π/2) = 2cos(π/2) - sin^2(π/2) = 2 * 0 - 1^2 = -1

Таким образом, минимальное значение функции F(x) на интервале [-π/2; π/2] равно -1, а максимальное значение равно 1.