Question

Укажите неравенство, решением которого является единственное число: 1) x^2 - 2x + 2 ⩽ 0 ; 2) x^2 - 2x + 2 ⩾ 0 ; 3) x^2 - 4x + 4 ⩽ 0 ; 4) x^2 -4x + 4 ⩾ 0 . И напишите пожалуйста решение, а не просто ответ.

Answer 1

Вариант ответа 3
x^2 - 4x + 4 ⩽ 0
(x-2)^2 ⩽ 0
Квадрат какого-то числа есть величина всегда положительная, поэтому (x-2)^2 не может быть меньше 0, остается
(x-2)^2 = 0
x-2=0
x=2
Отсюда единственное решение 

Answer 2

Неравенство 1: x^2 - 2x + 2 ⩽ 0

Для решения данного неравенства, мы можем использовать метод квадратного трехчлена или графический метод.

Метод квадратного трехчлена: 1. Найдем вершину параболы, заданной уравнением x^2 - 2x + 2 = 0. Формула для нахождения координат вершины параболы x = -b/2a, где a, b и c - коэффициенты уравнения. В данном случае, a = 1, b = -2, c = 2. Подставляя значения в формулу, получаем x = -(-2)/(2*1) = 1. Таким образом, вершина параболы имеет координаты (1, f(1)), где f(1) - значение функции в точке x = 1.

2. Определим выпуклость параболы. Так как коэффициент при x^2 положительный (a = 1 > 0), парабола будет направлена вверх.

3. Теперь мы можем определить, где парабола находится относительно оси x. Поскольку вершина параболы находится выше оси x (f(1) > 0), парабола не пересекает ось x и не имеет действительных корней.

4. Исследуем знаки функции вне интервала, где парабола не пересекает ось x. Выберем точку справа от вершины, например, x = 2. Подставим эту точку в исходное неравенство: (2)^2 - 2(2) + 2 = 2 > 0. Значит, функция положительна при x > 1.

Таким образом, решением неравенства x^2 - 2x + 2 ⩽ 0 является пустое множество, так как парабола не пересекает ось x и не имеет действительных корней.

Неравенство 2: x^2 - 2x + 2 ⩾ 0

Для решения данного неравенства, мы также можем использовать метод квадратного трехчлена или графический метод.

Метод квадратного трехчлена: 1. Найдем вершину параболы, заданной уравнением x^2 - 2x + 2 = 0. Вершина параболы имеет координаты (1, f(1)), где f(1) - значение функции в точке x = 1.

2. Определим выпуклость параболы. Так как коэффициент при x^2 положительный (a = 1 > 0), парабола будет направлена вверх.

3. Теперь мы можем определить, где парабола находится относительно оси x. Поскольку вершина параболы находится выше оси x (f(1) > 0), парабола не пересекает ось x и не имеет действительных корней.

4. Исследуем знаки функции вне интервала, где парабола не пересекает ось x. Выберем точку справа от вершины, например, x = 2. Подставим эту точку в исходное неравенство: (2)^2 - 2(2) + 2 = 2 > 0. Значит, функция положительна при x > 1.

Таким образом, решением неравенства x^2 - 2x + 2 ⩾ 0 является весь диапазон действительных чисел, так как парабола не пересекает ось x и не имеет действительных корней.

Неравенство 3: x^2 - 4x + 4 ⩽ 0

Метод квадратного трехчлена: 1. Найдем вершину параболы, заданной уравнением x^2 - 4x + 4 = 0. Вершина параболы имеет координаты (2, f(2)), где f(2) - значение функции в точке x = 2.

2. Определим выпуклость параболы. Так как коэффициент при x^2 положительный (a = 1 > 0), парабола будет направлена вверх.

3. Теперь мы можем определить, где парабола находится относительно оси x. Поскольку вершина параболы находится выше оси x (f(2) > 0), парабола не пересекает ось x и не имеет действительных корней.

4. Исследуем знаки функции вне интервала, где парабола не пересекает ось x. Выберем точку справа от вершины, например, x = 3. Подставим эту точку в исходное неравенство: (3)^2 - 4(3) + 4 = 1 > 0. Значит, функция положительна при x > 2.

Таким образом, решением неравенства x^2 - 4x + 4 ⩽ 0 является интервал (-∞, 2].

Неравенство 4: x^2 - 4x + 4 ⩾ 0

Метод квадратного трехчлена: 1. Найдем вершину параболы, заданной уравнением x^2 - 4x + 4 = 0. Вершина параболы имеет координаты (2, f(2)), где f(2) - значение функции в точке x = 2.

2. Определим выпуклость параболы. Так как коэффициент при x^2 положительный (a = 1 > 0), парабола будет направлена вверх.

3. Теперь мы можем определить, где парабола находится относительно оси x. Поскольку вершина параболы находится выше оси x (f(2) > 0), парабола не пересекает ось x и не имеет действительных корней.

4. Исследуем знаки функции вне интервала, где парабола не пересекает ось x. Выберем точку справа от вершины, например, x = 3. Подставим эту точку в исходное неравенство: (3)^2 - 4(3) + 4 = 1 > 0. Значит, функция положительна при x > 2.

Таким образом, решением неравенства x^2 - 4x + 4 ⩾ 0 является интервал [2, +∞).